Từ một đài quan sát, một người đặt mắt tại vị trí \[B.\] Người đó nhìn thấy một chiếc ô tô ở vị trí \[C\] theo phương \[BC\] tạo với phương nằm ngang \[Bx\] một góc là \(\widehat {CBx} = 25^\circ \) với \[Bx\,{\rm{//}}\,AC.\] Khi đó, khoảng cách giữa ô tô và chân đài quan sát là \[AC = 1,221{\rm{\;km}}{\rm{.}}\] Nếu ô tô từ vị trí \[C\] tiếp tục đi về phía chân đài quan sát với tốc độ \[60\] km/h thì sau 1 phút, người đó nhìn thấy ô tô ở vị trí \[D\] với góc \(\widehat {DBx} = \alpha \) (hình vẽ).

a) Tính chiều cao của đài quan sát (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét), biết độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh đài quan sát là \[3\] m.

b) Tính số đo góc \[\alpha \] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút).

c) Tính khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí \[D\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Đổi \(1,221{\rm{\;km}} = 1\,\,221{\rm{\;m}}.\)

a) Do \[Bx\,{\rm{//}}\,AC\;\] nên \[\widehat {ACB} = \widehat {CBx}\] (so le trong).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] nên \(AB = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {ACB} = 1\,\,221 \cdot {\rm{tan}}25^\circ  \approx 569{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: \[3 + 569 = 572\] (m).

b) Đổi: \[60\] km/h \[ = 1{\rm{ }}000\] m/phút.

Do \[Bx\,{\rm{//}}\,AC\;\] và \[AB \bot AC\] nên ta có \(\widehat {ABx} = \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Quãng đường \[CD\] là: \[CD = 1{\rm{ }}000 \cdot 1 = 1{\rm{ }}000\] (m).

Do đó: \[AD = AC - CD = 1{\rm{ }}221\; - 1{\rm{ }}000 = 221\] (m).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \[A\] có: \({\rm{tan}}\widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}} \approx \frac{{221}}{{569}}.\) Suy ra \(\widehat {ABD} \approx 21^\circ 14'.\)

Mà \(\widehat {DBx} + \widehat {ABD} = \widehat {ABx} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\alpha  = \widehat {DBx} = 90^\circ  - \widehat {ABD} \approx 90^\circ  - 21^\circ 14' = 68^\circ 46'.\)

c) Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \[A\] nên \(AB = BD \cdot {\rm{cos}}\widehat {ABD}.\)

Suy ra \(BD = \frac{{AB}}{{{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} \approx \frac{{569}}{{{\rm{cos}}\,21^\circ 14'}} \approx 610{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí \[D\] khoảng \[610\] mét.