Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 5} \right) = 0.\)          b) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{17x - 56}}{{16 - {x^2}}}.\)   

c) \[{\left( {x - 1} \right)^2} < x\left( {x + 3} \right).\]    d) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}.\]

a) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H,\] ta có:

\[AH = AB \cdot \sin B = 4 \cdot \sin 40^\circ  \approx 2,57\] (cm);

\(BH = AB \cdot \cos B = 4 \cdot \cos 40^\circ  \approx 3,06\) (cm).

Ta có \(BC = BH + HC\)

Suy ra \(HC = BC - BH \approx 4,5 - 3,06 = 1,44\) (cm).

Xét \[\Delta AHC\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \approx 2,{57^2} + 1,{44^2} = 8,6785\]

Suy ra \(AC \approx 2,95\) (cm).

Trong \[\Delta AHC\], ta cũng có: \(\tan C = \frac{{AH}}{{HC}} \approx \frac{{2,57}}{{1,44}} = \frac{{257}}{{144}}.\) Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 60^\circ 44'.\)

b) Đặt: \(BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);\) \(AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(C,\) ta có: \[CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .\]

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có: \(CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \).

Do đó, ta có: \(\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ  + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158,5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 3\,\,158,5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 2468\,\,({\rm{m}}).\)

Vậy ngọn núi cao khoảng \(2\,\,468\) mét.

a) Vì số nguyên tử của \({\rm{Fe,}}\,\,{\rm{O}}\) và \({\rm{H}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 3 + y\\3x = 2y\end{array} \right.\)

Từ hai phương trình \(3x = 3 + y\) và \(3x = 2y\) ta có phương trình \(3 + y = 2y,\) suy ra \(y = 3.\)

Vậy \(x = 2\) và \(y = 3.\) Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:

\[2{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + 3{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.\]

b) Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và \(y\) (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB \(\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).\)

– Quãng đường AB là \(xy\) (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

  ⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x + 10\) (km/h).

  ⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y - 3\) (giờ).

  ⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\)

 \(xy - 3x + 10y - 30 = xy\)

 \( - 3x + 10y = 30\)  (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

  ⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x - 10\) (km/h).

  ⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y + 5\) (giờ).

  ⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y + 5} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \[\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\]

\(xy + 5x - 10y - 50 = xy\)

\(5x - 10y = 50\)  (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2x = 80,\) suy ra \[x = 40\] (thỏa mãn).

Thay \[x = 40\] vào phương trình (1), ta được:

\( - 3 \cdot 40 + 10y = 30\) hay \(10y = 150,\) suy ra \(y = 15\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).