Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'\left( {1;\,0 & ;\,1} \right)\), \(B'\left( {3;1;\,3} \right)\), \(D'\left( {1;\, - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;\,5;\, - 5} \right)\).

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {A'D'} \) là \(\left( {0; - 1;0} \right)\).

b) Gọi tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {{x_B} - 3;{y_B} - 5;{z_B} + 5} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {3;6; - 5} \right)\).

d) Tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\)).

Vì cứ tăng giá thêm \(1\,\) nghìn đồng thì số khăn bán ra mỗi tháng sẽ ít hơn \(100\) chiếc nên tăng \(x\) nghìn đồng thì số khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.

Do đó, tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3\,000 - 100x\) (chiếc).

Lúc đầu bán với giá \(30\) nghìn đồng, mỗi chiếc khăn có lãi \(12\) nghìn đồng. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\) (nghìn đồng).

Khi đó, lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

\(L\left( x \right) = \left( {3\,000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\)\( = - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(L\left( x \right) = - 100{x^2} + 1\,800x + 36\,000\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(L'\left( x \right) = - 200x + 1\,800\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 9\).

Bảng biến thiên của hàm số \(L\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy: trên khoảng , hàm số đạt giá trị lớn nhất tại .

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất phải tăng giá bán mỗi chiếc khăn lên nghìn đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc khăn là  nghìn đồng. 

Đáp số: .

a) Đ,           b) S,            c) S,            d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SC} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = SA = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt 2 \). Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(SAB\) đều.

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ - \widehat {SAB} = 120^\circ \).

Ta có: \[\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

\( = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 120^\circ = - \frac{1}{2}\).

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} \cdot \,\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 \cdot 1}} = - \frac{1}{2}\). Vậy ý d) sai.