Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với trục tung.

c) Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x =  - 1\); đường tiệm cận xiên là \(y =  - x + 2\).

d) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\) làm tâm đối xứng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\), ; đạt cực tiểu tại \(x =  - 2\), \({y_{CT}} = 5\). 

Khi đó, điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(\left( {0;1} \right)\) thuộc trục tung. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) không thể nằm ở hai phía đối với trục tung. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y =  - x + 2\).

Vậy ý c) đúng.

– Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Với \(x =  - 1\) thì \(y =  - \left( { - 1} \right) + 2 = 3\).

Vậy điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\).

Do đó, ý d) đúng.