Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Đáp án đúng là: A

Ta có điều kiện xác định: \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}.\)

Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}} =  + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}} =  - \infty .\)

Do đó, \(x =  - 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}} = \frac{1}{4}\).

Do đó, \(x = 0\) không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.