Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và \(SA = SB = SC = a\). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \((ABC)\) bằng

Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK và CF và \(AK \cap CF = \{ E\} \) nên \(E\) là trực tâm tam giác ABC.

\[\begin{array}{l}SC \bot SA\\SC \bot SB\end{array}\]\( \Rightarrow SC \bot (SAB){\rm{ hay }}SC \bot AB\).

Mà \(CF \bot AB\) nên \(AB \bot (SCF) \Rightarrow AB \bot SE\).

Chứng minh tương tự ta được \(BC \bot (SAK) \Rightarrow BC \bot SE\). Vậy \(SE \bot (ABC)\).

Ta có CE là hình chiếu của SC lên mặt phẳng \((ABC)\).

\(\widehat {(SC,(ABC))} = \widehat {(SC,CE)} = \widehat {SCE}\)

Ta có tam giác SCF vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{{S{E^2}}} = \frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{F^2}}}\).

Mặt khác tam giác SAB vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{{S{F^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\).

Suy ra \(\frac{1}{{S{E^2}}} = \frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{E^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Leftrightarrow SE = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

\(\sin \widehat {SCE} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}:a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).