Cho các số phức w, z thỏa mãn \(|w + i| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = (2 + i)(z - 4)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i|\) bằng
A. \(6\sqrt 7 \).
B. \(4 + 2\sqrt {13} \).
C. \(2\sqrt {53} \).
D. \(4\sqrt {13} \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\). Khi đó \(M(x;y)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z\).
Theo giả thiết, \(5w = (2 + i)(z - 4) \Leftrightarrow 5(w + i) = (2 + i)(z - 4) + 5i\)
\( \Leftrightarrow (2 - i)(w + i) = z - 3 + 2i\)
\( \Leftrightarrow |z - 3 + 2i| = 3\). Suy ra \(M(x;y)\) thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 2)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có \(P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i| = MA + MB\), với \(A(1;2)\) và \(B(5;2)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của AB, ta có \(H(3;2)\) và khi đó:
\(P = MA + MB \le \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} {\rm{ hay }}P \le \sqrt {4M{H^2} + A{B^2}} {\rm{. }}\)
Mặt khác, \(MH \le KH\) với mọi \(M \in (C)\) và \(K(3; - 5) = HI \cap (I)\) nên
\(P \le \sqrt {4K{H^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{4.7}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {53} .\)
Vậy \({P_{\max }} = 2\sqrt {53} \) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \equiv K}\\{MA = MB}\end{array}} \right.\) hay \(z = 3 - 5i\) và \(w = \frac{3}{5} - \frac{{11}}{5}i\).
Chọn C
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 2,1 m/s.
B. 4,3 m/s.
C. 4,6 m/s.
D. 2,5 m/s.
Lời giải
Gọi a là gia tốc của chất điểm.
Theo định luật II Newton ta có: \(a = \frac{F}{m} \Rightarrow {F_C} = ma = mv' = m\frac{{dv}}{{dt}}\).
Mà \({F_C} = - rv\) nên \( - rv = m\frac{{dv}}{{dt}} \Rightarrow \frac{{dv}}{v} = - \frac{r}{m}dt\)
\( \Leftrightarrow \int_{{v_0}}^v {\frac{{dv}}{v}} = \int_0^t - \frac{r}{m}dt \Leftrightarrow \ln \frac{v}{{{v_0}}} = - \frac{r}{m}t \Rightarrow v = {v_0}.{e^{ - \frac{r}{m}t}} = 2,5\,\,(m/s).\)
Chọn D
Câu 2
A. \(\frac{3}{4}\).
B. 1.
C. \( - \frac{1}{2}\).
D. \(\frac{9}{4}\).
Lời giải
Giải thích
Ta có: \(f(1) = n\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}{\rm{. }}\)
Hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}\)(1)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình \(x + 3 - {m^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 + 3 - {m^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\).
+ Khi \(m = 2\) thì (1) \( \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}\).
+ Khi \(m = - 2\) thì (1) \( \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n\).
Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Chọn D
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(6{a^3}\).
B. \(\frac{5}{2}{a^3}\).
C. \({a^3}\).
D. \(\frac{9}{2}{a^3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập