Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1{\rm{ khi}}\,\,x \le 2\\x + 5{\rm{ khi}}\,\,x > 2\end{array} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^*}\) và ƯCLN\((a;b) = 1\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
![Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1{\rm{ khi}}\,\,x \le 2\\x + 5{\rm{ khi}}\,\,x > 2\end{array} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^*}\) và ƯCLN\((a;b) = 1\). Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid29-1729660088.png)
Giá trị của a là ______.
Giá trị của b là ______.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1{\rm{ khi}}\,\,x \le 2\\x + 5{\rm{ khi}}\,\,x > 2\end{array} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^*}\) và ƯCLN\((a;b) = 1\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Giá trị của a là ______.
Giá trị của b là ______.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án
Giá trị của a là 31 .
Giá trị của b là 3 .
Giải thích
Với \(x < 2\), ta có \(f(x) = {x^2} + 2x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(( - \infty ;2)\).
Với \(x > 2\), ta có \(f(x) = x + 5\) là hàm đa thức nên liên tục trên \((2; + \infty )\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 7\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 2) = 7;f(2) = 7.{\rm{ }}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f(2)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 2\). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đặt \(t = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \to {\rm{d}}t = \frac{{2x\;{\rm{d}}x}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{x\;{\rm{d}}x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{\rm{d}}t}}{2}\).
Đổi cận:
Với \(x = 0\) ta có \(t = 0\)
Với \(x = \sqrt {{e^4} - 1} \) ta có \(t = 4\)
Khi đó\({\rm{ }}I = \frac{1}{2}\int_0^4 f (t){\rm{d}}t = \frac{1}{2}\int_0^4 f (x){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int_0^2 {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)} dx + \int_2^4 {(x + 5)} dx} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{{14}}{3} + 16} \right) = \frac{{31}}{3}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 2,1 m/s.
B. 4,3 m/s.
C. 4,6 m/s.
D. 2,5 m/s.
Lời giải
Gọi a là gia tốc của chất điểm.
Theo định luật II Newton ta có: \(a = \frac{F}{m} \Rightarrow {F_C} = ma = mv' = m\frac{{dv}}{{dt}}\).
Mà \({F_C} = - rv\) nên \( - rv = m\frac{{dv}}{{dt}} \Rightarrow \frac{{dv}}{v} = - \frac{r}{m}dt\)
\( \Leftrightarrow \int_{{v_0}}^v {\frac{{dv}}{v}} = \int_0^t - \frac{r}{m}dt \Leftrightarrow \ln \frac{v}{{{v_0}}} = - \frac{r}{m}t \Rightarrow v = {v_0}.{e^{ - \frac{r}{m}t}} = 2,5\,\,(m/s).\)
Chọn D
Câu 2
A. \(\frac{3}{4}\).
B. 1.
C. \( - \frac{1}{2}\).
D. \(\frac{9}{4}\).
Lời giải
Giải thích
Ta có: \(f(1) = n\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}{\rm{. }}\)
Hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}\)(1)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình \(x + 3 - {m^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 + 3 - {m^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\).
+ Khi \(m = 2\) thì (1) \( \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}\).
+ Khi \(m = - 2\) thì (1) \( \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n\).
Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Chọn D
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(6{a^3}\).
B. \(\frac{5}{2}{a^3}\).
C. \({a^3}\).
D. \(\frac{9}{2}{a^3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập