Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho các mặt phẳng \((P):x - y + 2z + 1 = 0\), \((Q):2x + y + z - 1 = 0\). Gọi \((S)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \((S)\) cắt mặt phẳng \((P)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và \((S)\) cắt mặt phẳng \((Q)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \(r\). Để chỉ có đúng 1 mặt cầu \((S)\) thỏa mãn yêu cầu thì giá trị của \(r\) là

Phương pháp giải

- Gọi I là tâm mặt cầu (S). Ta có I(a;0;0)

- Sử dụng các tính chất về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Lời giải

- Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có \(I(a;0;0)\)

- Sử dụng các tính chất về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có \(I(a;0;0)\)

Do \((S)\) cắt \((P)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính 2 nên ta có:

\(4 = {R^2} - {[d(I,(P))]^2} \Leftrightarrow 4 = {R^2} - \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} \Rightarrow {R^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6}\)

Do \((S)\) cắt \((Q)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(r\) nên ta có:

\({r^2} = {R^2} - {[d(I,(Q))]^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6}(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \({r^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6} \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a + 8 - 2{r^2} = 0\) (3)

Để có duy nhất một mặt cầu (S) thỏa mãn thì phương trình (3) phải có duy nhất 1 nghiệm (S)

\( \Rightarrow \Delta ' = 9 - 2{r^2} = 0 \Rightarrow r = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).