Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 8)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình nón:

 S_tp = S_xq + S_d

Diện tích hình nón, thể tích khối nón (Đọc thêm) 

Lời giải

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: 

Stp = πrl + πr²

Quan sát đồ thị, giá trị cực đại của hàm số là giá trị y tại điểm cực đại trên đồ thị.

Tìm cực trị của hàm số 

Lời giải

Quan sát đồ thị ta thấy tại x = 0 thì đồ thị đi lên rồi đi xuống nên giá trị cực đại của hàm số là f(0)=2

Chỉ ra B là trung điểm AM.

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước \[\frac{{AM}}{{BM}} = 2\]

Lời giải

M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho \[\frac{{AM}}{{BM}} = 2\] nên B là trung điểm AM.

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 = \frac{{3 + {x_M}}}{2}}\\{4 = \frac{{2 + {y_M}}}{2}}\\{3 = \frac{{ - 1 + {z_M}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 7}\\{{y_M} = 6}\\{{z_M} = 7}\end{array} \Rightarrow M(7;6;7)} \right.} \right..\)

Đáp án:  “1”

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức biến đổi số phức.

Lời giải

Ta có  $w=3z_1-i.\overline{z_2}=1$.

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M,N \in (\alpha )}\\{(\alpha ) \bot (P)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]} \right.\)

Viết phương trình mặt phẳng 

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = (2; - 1; - 1);\overrightarrow {{n_P}}  = (2;3; - 1)\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M,N \in (\alpha )}\\{(\alpha ) \bot (P)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (4;0;8)} \right.\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\). \(M(0;1;2) \in (\alpha )\)

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là: 

\(4(x - 0) + 0(y - 1) + 8(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow x + 2z - 4 = 0.\)

Phương pháp giải

- Gọi I là tâm mặt cầu (S). Ta có I(a;0;0)

- Sử dụng các tính chất về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Lời giải

- Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có \(I(a;0;0)\)

- Sử dụng các tính chất về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có \(I(a;0;0)\)

Do \((S)\) cắt \((P)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính 2 nên ta có:

\(4 = {R^2} - {[d(I,(P))]^2} \Leftrightarrow 4 = {R^2} - \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} \Rightarrow {R^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6}\)

Do \((S)\) cắt \((Q)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(r\) nên ta có:

\({r^2} = {R^2} - {[d(I,(Q))]^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6}(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \({r^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6} \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a + 8 - 2{r^2} = 0\) (3)

Để có duy nhất một mặt cầu (S) thỏa mãn thì phương trình (3) phải có duy nhất 1 nghiệm (S)

\( \Rightarrow \Delta ' = 9 - 2{r^2} = 0 \Rightarrow r = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

- Đặt ẩn, khảo sát giá trị của hàm số

- Công thức thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h\)

- Diện tích toàn phần hình trụ \(S = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)

Thể tích khối hộp, khối lăng trụ

Lời giải

Gọi phần diện tích vật liệu cần dùng là \(S\) chiều cao hình trụ là \(h\) và bán kính đáy là \(r\) ta có:

\(16\pi  = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{16}}{{{r^2}}}\) ta lại có \(S = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)

Vậy \(S = \frac{{32\pi }}{r} + 2\pi {r^2} \Leftrightarrow S_{(r)}^\prime  = 4\pi r - \frac{{32\pi }}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = 2(\;{\rm{cm}}) \Rightarrow S = 24\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)