Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M(6;0;0),N(0;6;0),P(0;0;6)\). Hai mặt cầu có phương trình \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 1 = 0\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z + 1 = 0\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa \((C)\) và tiếp xúc với ba đường thẳng MN, NP, PM?

Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 330 cm3, bán kính đáy x cm, chiều cao ℎ cm. Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau :

Để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất thì bán kính x bằng 3,745 cm và chiều cao ℎ bằng 7,490 cm.

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải thích

Ta có: \(V = \pi {x^2}h\).

Theo giả thiết thể tích hình trụ bằng \(330\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) nên \(V = 330 \Leftrightarrow \pi {x^2}h = 330 \Leftrightarrow h = \frac{{330}}{{\pi {x^2}}}\)

Chi phí sản xuất là thấp nhất khi diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 2\pi xh + 2\pi {x^2} = 2\pi \left( {{x^2} + \frac{{330}}{{\pi x}}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

\({x^2} + \frac{{330}}{{\pi x}} = {x^2} + \frac{{165}}{{\pi x}} + \frac{{165}}{{\pi x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27225.{x^2}}}{{{\pi ^2}.{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{27225}}{{{\pi ^2}}}}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = \frac{{165}}{{\pi x}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}} \approx 3,745.\)

Để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất cần sản xuất hộp với kích thước \(h \approx 7,490\;{\rm{cm}}\) và \(x \approx 3,745\;{\rm{cm}}\).