Cho các số thực \(a,b,c \in (1; + \infty )\) thỏa mãn \({a^{10}} \le b\) và \({\log _a}b + 2{\log _b}c + 5{\log _c}a = 12\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2{\log _a}c + 5{\log _c}b + 10{\log _b}a\) bằng

Đặt \(x = {\log _a}b;\,\,y = {\log _b}{\rm{c}};\,\,z = {\log _c}a\). Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x,y,z > 0}\\{x.y.z = 1}\\{x \ge 10}\\{x + 2y + 5z = 12}\end{array}} \right.\)

Khi đó :

\(P = \frac{2}{z} + \frac{5}{y} + \frac{{10}}{x} = \frac{2}{z} + \frac{5}{y} + \frac{{100}}{x} - \frac{{90}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{z}.\frac{5}{y}.\frac{{100}}{x}}} - 9 = 30 - 9 = 21\)

Suy ra \[{P_{min}} = 21\;\] đạt được khi 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x.y.z = 1}\\{\frac{2}{z} = \frac{5}{y} = \frac{{100}}{x}}\\{x + 2y + 5z = 12}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = \frac{1}{2}}\\{z = \frac{1}{5}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}b = 10}\\{{{\log }_b}c = \frac{1}{2}}\\{{{\log }_c}a = \frac{1}{5}}\end{array} \Rightarrow b = {c^2} = {a^{10}}} \right.} \right.} \right.\)