Câu hỏi:
24/10/2024 121Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = BC = CA = a,SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,M\) là điểm bất kì trong không gian. Gọi \(d\) là tổng khoảng cách từ \(M\) đến tất cả các đường thẳng \(AB,BC,CA,SA\),\(SB,SC\). Giá trị nhỏ nhất của \(d\) bằng
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có khối chóp \(S.ABC\) là khối chóp tam giác đều.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(SG\) là chiều cao của khối chóp \(S.ABC\).
Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AB,CA\) và \(I,J,K\) lần lượt là hình chiếu của \(D,E,F\) trên \(SA,SC,SB\).
Khi đó \(DI,EJ,FK\) tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh \(SA\) và \(BC,SC\) và \(AB,SB\) và \(CA\).
Ta có \(DI = EJ = FK\). Do đó \({\rm{\Delta }}SID = {\rm{\Delta }}SJE\) nên \(SI = SJ\).
Suy ra \(ED//IJ\) (cùng song song với \(AC\)). Do đó bốn điểm \(D,E,I,J\) đồng phẳng.
Tương tự ta có bộ bốn điểm \(D,F,I,K\) và \(E,F,J,K\) đồng phẳng.
Ba mặt phẳng \(\left( {DEIJ} \right),\left( {DFIK} \right),\left( {EFJK} \right)\) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến \(DI,EJ,FK\).
Suy ra \(DI,EJ,FK\) đồng quy tại điểm \(O\) thuộc \(SG\).
Xét điểm \(M\) bất kì trong không gian.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{d\left( {M,SA} \right) + d\left( {M,BC} \right)}&{ \ge DI}\\{d\left( {M,SC} \right) + d\left( {M,AB} \right)}&{ \ge EJ}\\{d\left( {M,SB} \right) + d\left( {M,AC} \right)}&{ \ge FK}\end{array} \Rightarrow d \ge DI + EJ + FK} \right.\).
Do đó \(d\) nhỏ nhất bằng \(DI + EJ + FK = 3DI\) khi \(M \equiv O\).
Ta có \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\), \(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Suy ra \(DI = AD.\sin \widehat {SAD} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(3DI = 3\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = a\sqrt 6 \).
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Điền số tự nhiên vào chỗ trống
Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là (1) _______.
Điền số tự nhiên vào chỗ trống
Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là (1) _______.
Xem đáp án »
24/10/2024
1,699
Câu 2:
Hai bạn \(A\) và \(B\) chơi một trò chơi: hai bạn sẽ tung hai con xúc xắc luân phiên, để giành chiến thắng thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc phải bằng 8 . Biết bạn \({\rm{A}}\) là người chơi trước, xác suất giành chiến thắng của bạn \({\rm{A}}\) bằng (1) __________.
Hai bạn \(A\) và \(B\) chơi một trò chơi: hai bạn sẽ tung hai con xúc xắc luân phiên, để giành chiến thắng thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc phải bằng 8 . Biết bạn \({\rm{A}}\) là người chơi trước, xác suất giành chiến thắng của bạn \({\rm{A}}\) bằng (1) __________.
Xem đáp án »
24/10/2024
1,520
Câu 4:
Phần tư duy đọc hiểu
Hãy tìm một cụm từ không quá hai tiếng trong văn bản để hoàn thành nhận định sau:
Theo đoạn [2], Mức độ rủi ro của selfie đã được khảo sát trên phạm vi (1) __________ và đối chiếu với mức độ nguy hiểm do cá mập tấn công ở một báo cáo khác.
Phần tư duy đọc hiểu
Hãy tìm một cụm từ không quá hai tiếng trong văn bản để hoàn thành nhận định sau:
Theo đoạn [2], Mức độ rủi ro của selfie đã được khảo sát trên phạm vi (1) __________ và đối chiếu với mức độ nguy hiểm do cá mập tấn công ở một báo cáo khác.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,324
Câu 6:
Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đê
Các thiên thạch khi nằm trong phạm vi 50 km từ bề mặt Trái Đất thì chúng sẽ
Xem đáp án »
07/07/2024
1,015
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 15)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Đọc hiểu chủ đề môi trường - Đề 1
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 3)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 5)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận