Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = BC = CA = a,SA = SB = SC = a\sqrt 3 ,M\) là điểm bất kì trong không gian. Gọi \(d\) là tổng khoảng cách từ \(M\) đến tất cả các đường thẳng \(AB,BC,CA,SA\),\(SB,SC\). Giá trị nhỏ nhất của \(d\) bằng

Ta có khối chóp \(S.ABC\) là khối chóp tam giác đều.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(SG\) là chiều cao của khối chóp \(S.ABC\).

Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AB,CA\) và \(I,J,K\) lần lượt là hình chiếu của \(D,E,F\) trên \(SA,SC,SB\).

Khi đó \(DI,EJ,FK\) tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh \(SA\) và \(BC,SC\) và \(AB,SB\) và \(CA\).

Ta có \(DI = EJ = FK\). Do đó \({\rm{\Delta }}SID = {\rm{\Delta }}SJE\) nên \(SI = SJ\).

Suy ra \(ED//IJ\) (cùng song song với \(AC\)). Do đó bốn điểm \(D,E,I,J\) đồng phẳng.

Tương tự ta có bộ bốn điểm \(D,F,I,K\) và \(E,F,J,K\) đồng phẳng.

Ba mặt phẳng \(\left( {DEIJ} \right),\left( {DFIK} \right),\left( {EFJK} \right)\) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến \(DI,EJ,FK\).

Suy ra \(DI,EJ,FK\) đồng quy tại điểm \(O\) thuộc \(SG\).

Xét điểm \(M\) bất kì trong không gian.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{d\left( {M,SA} \right) + d\left( {M,BC} \right)}&{ \ge DI}\\{d\left( {M,SC} \right) + d\left( {M,AB} \right)}&{ \ge EJ}\\{d\left( {M,SB} \right) + d\left( {M,AC} \right)}&{ \ge FK}\end{array} \Rightarrow d \ge DI + EJ + FK} \right.\).

Do đó \(d\) nhỏ nhất bằng \(DI + EJ + FK = 3DI\) khi \(M \equiv O\).

Ta có \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\), \(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(DI = AD.\sin \widehat {SAD} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(3DI = 3\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = a\sqrt 6 \).