Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1,{u_2} = 3}\\{{u_{n + 2}} + {u_n} = 2\left( {{u_{n + 1}} + 1} \right),n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}}\end{array}} \right.\] . Giới hạn \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}}\]bằng (1) _______.

Đáp án: “1”

Giải thích

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1,{u_2} = 3\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{u_{n + 2}} + {u_n} = 2\left( {{u_{n + 1}} + 1} \right)\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) \(\left( {n \ge 1} \right)\).

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\).

Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 2 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).

Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 2\) và công sai \(d = 2\).

Nên \({v_n} = 2 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n\).

Khi đó: \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)

\( = {v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} +  \ldots  + {v_1} + {u_1} = 2\left( {\left( {n - 1} \right) + \left( {n - 2} \right) +  \ldots  + 1} \right) + 1\)

\( = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 = n\left( {n - 1} \right) + 1\).

Do đó: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{n\left( {n - 1} \right) + 1}}{{{n^2}}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}} = 1\).

Vậy \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}} = 1\).