Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {1;2; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng 3.	¡	¡
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y + z + 11 = 0\).	¡	¡

Đáp án: “36/67”

Giải thích

Bước 1. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 .

Số phần tử không gian mẫu \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 36\).

Để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 thì số chấm trên hai con xúc xắc là một trong các trường hợp sau \(\left( {2;6} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;3} \right),\left( {6;2} \right)\).

Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 là \(\frac{5}{{36}}\).

Bước 2. Tính xác suất thắng của mỗi bạn.

\(A\) là biến cố bạn \({\rm{A}}\) là người chiến thắng.

\(P\left( A \right) = \left( {\frac{5}{{36}}} \right) + \left( {\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{5}{{36}}} \right) + \left( {\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{{31}}{{36}}.\frac{5}{{36}}} \right) +  \ldots \)

\( = \frac{5}{{36}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^4} +  \ldots } \right]\)

\( = \frac{5}{{36}}.\frac{1}{{1 - {{\left( {\frac{{31}}{{36}}} \right)}^2}}} = \frac{{36}}{{67}}\)

Đáp án: “595”

Giải thích

Số đường chéo của đa giác là: \(C_{10}^2 - 10 = 35\).

Cứ hai đường chéo cho ta một giao điểm, hơn nữa không có ba đường chéo nào đồng quy nên số giao điểm của các đường chéo là \(C_{35}^2 = 595\).