Câu hỏi:
24/10/2024 119
Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đinh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m, F1, F2 lần lượt là hai tiêu điểm của elip. Phần A, B dùng để trồng hoa, phần C, D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ. Tính tồng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).
Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đinh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m, F1, F2 lần lượt là hai tiêu điểm của elip. Phần A, B dùng để trồng hoa, phần C, D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ. Tính tồng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Lời giải
Gọi SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các phần A, B, C và D. Theo giả thiết ta được \[{S_A} = {S_B},\,\,{S_C} = {S_D}\].
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó elip \((E)\) có dạng \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,(0 < b < a)\).
Theo bài \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4;2b = 4 \Leftrightarrow b = 2\) suy ra phương trình của elip là
\((E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) (1). \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 3 \) suy ra \({F_2}(2\sqrt 3 ;0)\).
Gọi \((P)\) là parabol nẳm ở phần phía trên của trục \({\rm{Ox}}\), cắt \((E)\) tại điểm \(M\) với hoành độ \({x_M} = 2\sqrt 3 \) khi đó \(M \in (E) \Rightarrow M(2\sqrt 3 ;1)\).
Theo giả thiết, parabol \((P)\) có dạng \(y = m.{x^2}\). Do \(M \in (P) \Rightarrow 1 = 12.m \Leftrightarrow m = \frac{1}{{12}}\).
Từ (1) ta được \(\frac{{{y^2}}}{4} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{16}} \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}} \).
Diện tích của phần \(A\) là
\({S_A} = \int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\left( {\frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{1}{{12}}{x^2}} \right)} {\rm{d}}x = \int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {x^2}} \;{\rm{d}}x - \frac{1}{{12}}\int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {{x^2}} \;{\rm{d}}x{\rm{ hay}}\)
\({S_A} = {I_1} - \left. {\frac{1}{{36}}{x^3}} \right|_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } = {I_1} - \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)
Với \({I_1} = \frac{1}{2}\int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \;{\rm{d}}x\). Đặt \(x = 4\sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = 4\cos t\;{\rm{d}}t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
Đổi cận: Khi \(x = - 2\sqrt 3 \) ta được \(t = - \frac{\pi }{3}\); khi \(x = 2\sqrt 3 \) ta được \(t = \frac{\pi }{3}\).
Theo công thức đổi biến số, thì:
\[{I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}x} } .4\cos tdt = 8\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\cos }^2}} tdt\]
Hay \({I_1} = 4\int_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {4\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} = 8\left( {\frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).
Từ đó tìm được \({S_A} = \frac{{8\pi + 2\sqrt 3 }}{3}\).
Diện tích của \((E)\) là \({S_{(E)}} = \pi ab = 8\pi \).
Diện tích của phần \(C\) là \({S_C} = {S_D} = \frac{{{S_{(E)}} - 2{S_A}}}{2} = \frac{{4\pi - 2\sqrt 3 }}{3}\).
Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn trên là:
\(\left( {2.{S_A}} \right) \times 250000 + \left( {2.{S_C}} \right) \times 150000 \approx 5676367,372\)
Chọn A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho dãy số \(\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right),\,\,{\rm{n}} \in \mathbb{N}*\), thỏa mãn điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_1} = 3}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = - \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{5}}\end{array}} \right.\). Gọi \({\rm{S}} = {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_2} + {{\rm{u}}_3} + \ldots + {{\rm{u}}_{\rm{n}}}\) là tổng \({\rm{n}}\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó \(\lim {{\rm{S}}_{\rm{n}}}\) bằng
Xem đáp án »
24/10/2024
951
Câu 2:
Hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.
Đoạn trích trên được kể theo ngôi thứ nhất và ngôi thứ ba, người kể chuyện là tía của An.
Đúng hay sai?
Hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.
Đoạn trích trên được kể theo ngôi thứ nhất và ngôi thứ ba, người kể chuyện là tía của An.
Đúng hay sai?
Xem đáp án »
01/07/2024
768
Câu 3:
Ở động vật, quá trình nào giúp chuyển hóa năng lượng từ glucose thành năng lượng cung cấp cho các hoạt động sống?
Ở động vật, quá trình nào giúp chuyển hóa năng lượng từ glucose thành năng lượng cung cấp cho các hoạt động sống?
Xem đáp án »
01/07/2024
753
Câu 4:
Những nhận định sau là đúng hay sai?
PHÁT BIỂU
ĐÚNG
SAI
Mục đích thực hiện Thí nghiệm 1 và Thí nghiệm 2 giống nhau.
Việc so sánh kết quả của các mẫu đồng xu II và IV để ủng hộ giả thuyết: Kẽm được mạ nhiều hơn khi được tiếp xúc với dung dịch bạc nitrat so với dung dịch đồng sunfat.
Những nhận định sau là đúng hay sai?
|
PHÁT BIỂU |
ĐÚNG |
SAI |
|
Mục đích thực hiện Thí nghiệm 1 và Thí nghiệm 2 giống nhau. |
||
|
Việc so sánh kết quả của các mẫu đồng xu II và IV để ủng hộ giả thuyết: Kẽm được mạ nhiều hơn khi được tiếp xúc với dung dịch bạc nitrat so với dung dịch đồng sunfat. |
Xem đáp án »
01/07/2024
676
Câu 5:
Điền đáp án thích hợp vào chỗ trống
Thuốc kháng sinh là nhóm thuốc được sử dụng để chống nhiễm trùng do _______
Điền đáp án thích hợp vào chỗ trống
Thuốc kháng sinh là nhóm thuốc được sử dụng để chống nhiễm trùng do _______
Xem đáp án »
01/07/2024
584
Câu 7:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Xem đáp án »
24/10/2024
451
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Anh - Thì tương lai hoàn thành
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Đọc hiểu chủ đề môi trường - Đề 1
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Anh - Thì hiện tại đơn
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án (Đề 1)
về câu hỏi!