Câu hỏi:
24/10/2024 167
Cho a, b là các số dương. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}{{27}}\). Tìm giá trị lớn nhất của ab.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Dùng phương pháp liên hợp.
Dạng vô định ∞ - ∞
Lời giải
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + 3x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{9{x^2} - ax - 9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} - ax} - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{27{x^3} + b{x^2} + 5 - 27{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - ax}}{{\sqrt {9{x^2} - ax} - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{b{x^2} + 5}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - a}}{{ - \sqrt {9 - \frac{a}{x}} - 3}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{b + \frac{5}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}.3 + 9}}\)
\( = \frac{{ - a}}{{ - 6}} + \frac{b}{{27}} = \frac{a}{6} + \frac{b}{{27}} = \frac{{27a + 6b}}{{6.27}}\).
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}{{27}}\)
\( \Rightarrow \frac{{27a + 6b}}{{6.27}} = \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow \frac{{27a + 6b}}{6} = 7 \Leftrightarrow 27a + 6b = 42\)
\( \Leftrightarrow b = \frac{{42 - 27a}}{6} = 7 - \frac{9}{2}a\)
Khi đó: \(ab = a.\left( {7 - \frac{9}{2}a} \right) = - \frac{1}{2}\left( {9{a^2} - 14a} \right) = - \frac{1}{2}{\left( {3a - \frac{7}{3}} \right)^2} + \frac{{49}}{{18}} \le \frac{{49}}{{18}}\)
Dấu “=” xảy ra ⇔ \(a = \frac{7}{9},b = \frac{7}{2}\). Chọn A
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\frac{1}{2}{P_0}\) thì máy bay đang ở độ cao 5,84 km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng \(\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi cao hơn là A, ngọn núi thấp hơn là B. Độ cao chênh lệch giữa hai ngọn núi là 1,88km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Phương pháp giải
Lời giải
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\frac{1}{2}{P_0}\) là:
\(h = - 19,4.\log \frac{{\frac{1}{2}{P_0}}}{{{P_0}}} = - 19,4.\log \frac{1}{2} \approx 5,84\,\,({\rm{km}}).\)
b) Độ cao của ngọn núi A là: \({h_A} = - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}\).
Độ cao của ngọn núi B là: \({h_B} = - 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}\).
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(A\) bằng \(\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(B\) nên ta có:\({P_A} = \frac{4}{5}{P_B} \Leftrightarrow \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} = \frac{4}{5}{\rm{. }}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{h_A} - {h_B} = \left( { - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}} \right) - \left( { - 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}} \right) = - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}} + 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}\\ = - 19,4\log \left( {\frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}:\frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}} \right) = - 19,4\log \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} = - 19,4\log \frac{4}{5} \approx 1,88\,\,({\rm{km}}).\end{array}\)
Vậy ngọn núi \(A\) cao hơn ngọn núi \(B\) là \(1,88\;{\rm{km}}\).
Lời giải
Phương pháp giải
- Gọi h là chiều cao của hình trụ, biểu diễn h theo R.
- Biểu diễn diện tích toàn phần theo R.
- Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị min.
Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
Lời giải
Ta có 1000 lít = 1 m3.
Gọi h là chiều cao của hình trụ ta có \(K = \pi {R^2}h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).
Diện tích toàn phần là: \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + 2\pi R\frac{1}{{\pi {R^2}}} = 2\pi {R^2} + \frac{2}{R}\)
\( = 2\left( {\pi {R^2} + \frac{1}{{2R}} + \frac{1}{{2R}}} \right) \ge 2.3\sqrt[3]{{\pi {R^2}.\frac{1}{{2R}}.\frac{1}{{2R}}}} = 6\sqrt[3]{{\frac{\pi }{4}}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\pi {R^2} = \frac{1}{{2R}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\)
Chọn C
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo