Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - i} \right| = 6\).

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm I(_______; _______) và bán kính \(R = \)_______.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {iz} \right|\) là _______.

Đáp án

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - i} \right| = 6\).

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm I(1; 1 ) và bán kính \(R = \)6 .

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {iz} \right|\) là 12.

Giải thích

Gọi \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {x;y} \right)\).

Ta có:

\(\left| {z - 1 - i} \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 - i} \right| = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}}  = 6 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 36\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có: \(\left| {iz} \right| = \left| i \right|.\left| z \right| = \left| z \right|\).

Mà \(OI = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \).

Vậy

\(\left| {iz{|_{{\rm{max}}}} = } \right|z{|_{{\rm{max}}}} = OI + R = \sqrt 2  + 6\).

\(\left| {iz{|_{{\rm{min}}}} = } \right|z{|_{{\rm{min}}}} = \left| {OI - R} \right| = \left| {\sqrt 2  - 6} \right| = 6 - \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \left| {iz{|_{{\rm{min}}}} + } \right|iz{|_{{\rm{max}}}} = 6 + \sqrt 2  + 6 - \sqrt 2  = 12\).