Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 2\).

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ là một hình vuông có tọa độ một đỉnh là \(\left( { - 2;0} \right)\).
Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z - 2i} \right|\) là \(M = 3\).

Đáp án

Giải thích

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có

\(2 = \left| {z + \overline z \left|  +  \right|z - \overline z \left|  =  \right|a + bi + a - bi\left|  +  \right|a + bi - \left( {a - bi} \right)\left|  =  \right|2a\left|  +  \right|2bi} \right| = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\)

Do đó \(\left| a \right| + \left| b \right| = 1\). Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đồ thị của \(\left| x \right| + \left| y \right| = 1\) trên mặt phẳng tọa độ (hình vuông \(EFGH\) với \(E\left( { - 1;0} \right),F\left( {0; - 1} \right),G\left( {1;0} \right),H\left( {0;1} \right))\).

Gọi \(B\left( {0;2} \right),I\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) bất kì trên mặt phẳng tọa độ.

\(P = \left| {z - 2i\left|  =  \right|z - \left( {0 + 2i} \right)} \right| = BI\).

Dễ dàng thấy rằng \({\rm{max}}BI = BF = 3\). Do đó \(M = 3\).