Có (1) ______ số phức \(z\) thỏa mãn \({z^2} = \sqrt {{z^2} + \overline {{z^2}} } \).

Đáp án

Có (1) ___3___ số phức \(z\) thỏa mãn \({z^2} = \sqrt {{z^2} + \overline {{z^2}} } \).

Giải thích

Ta có: \({z^2} = \sqrt {{z^2} + \overline {{z^2}} } \)

\( \Leftrightarrow {z^4} = {z^2} + \overline {{z^2}} \)

\( \Leftrightarrow {z^2}\left( {{z^2} - 1} \right) = \overline {{z^2}} \)

\( \Leftrightarrow \overline {{z^2}\left( {{z^2} - 1} \right)}  = \overline {\overline {{z^2}} } \)

\( \Leftrightarrow \overline {{z^2}} \left( {\overline {{z^2}}  - 1} \right) = {z^2}\)\(\left( {\rm{*}} \right)\)

Thế \(\overline {{z^2}}  = {z^4} - {z^2}\) vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta có:

\({z^2}\left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^4} - {z^2} - 1} \right) = {z^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left( {{z^2} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{z^2} - 1} \right)}^2} + \left( {{z^2} - 1} \right) - 1} \right] = 1\,\,\left( {{\rm{**}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) ta có: \(t\left( {{t^2} + t - 1} \right) = 1\) (với \(\left. {t = {z^2} - 1} \right) \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  \pm 1\).

Khi đó, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z^2} - 1 =  - 1}\\{{z^2} - 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z^2} = 0}\\{{z^2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{z =  \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0; \pm \sqrt 2 } \right\}\).