Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Cho hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right):4,\,\,7,\,\,10, \ldots \) và \(\left( {{v_n}} \right):1,\,\,6,\,\,11, \ldots \). .

Số hạng thứ 136 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là _______.

Số 2026 là số hạng thứ _______ của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\).

Trong 2024 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng, có _______ số hạng chung.

Đáp án

Số hạng thứ 136 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là 409.

Số 2026 là số hạng thứ 406 của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\).

Trong 2024 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng, có 404 số hạng chung.

Giải thích

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n + 1\).

\( \Rightarrow \) Số hạng thứ 136 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_{136}} = 3.136 + 1 = 409\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_m} = 1 + \left( {m - 1} \right).5\)

\( = 5{\rm{\;m}} - 4\).

\( \Rightarrow 2026 = 5m - 4 \Leftrightarrow m = 406\).

Vậy số 2026 là số hạng thứ 406 của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\).

Giả sử \(k\) là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2024 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.

Vì \(k\) là 1 số hạng của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) nên \(k = 3i + 1\) với \(1 \le i \le 2024\) và \(i \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Vì \(k\) là 1 số hạng của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) nên \(k = 5j - 4\) với \(1 \le j \le 2024\) và \(j \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Do đó \(3i + 1 = 5j - 4 \Rightarrow 3i = 5j - 5 \Rightarrow i:5 \Rightarrow i \in \left\{ {5;10;15; \ldots ;2015;2020} \right\} \Rightarrow \) có 404 số hạng chung.