Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + z - 2 = 0.\)

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(I\left( {3;2;2} \right)\)
Cosin góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{{4\sqrt {21} }}{{21}}\)

Đáp án

Giải thích

Phương trình tham số d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + t\end{array} \right. \Rightarrow I(1 + 2t;3 - t;1 + t) \in d\).

Vì \(I = d \cap \left( P \right)\) nên ta có: \(2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {3 - t} \right) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow I\left( {3;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Sin góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \({\rm{sin}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}}\).

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }  = \frac{{\sqrt {105} }}{{21}}\).