Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 3\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Diện tích hình phẳng \(D\) bằng \(\frac{9}{4}\).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành bằng \(\frac{{81\pi }}{{16}}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) bằng \(2\sqrt 3  - 3\).

Đáp án

Giải thích

Diện tích hình phẳng D là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right|{\rm{d}}x = \frac{9}{4}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành là:

.

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) là:

\(\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} = {x^2} - 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3 + \sqrt 3 \\x = 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) là:

\(S' = \int\limits_0^{3 - \sqrt 3 } {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_{3 - \sqrt 3 }^{3 + \sqrt 3 } {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x = 2\sqrt 3  - 3 + 4\sqrt 3  = 6\sqrt 3  - 3 = 3\left( {2\sqrt 3  - 1} \right)\)