Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( 2 \right) = 2\) và \(f\left( {2 - x} \right) + {x^2}f''\left( x \right) = 2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng (1) _______.

Đáp án

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( 2 \right) = 2\) và \(f\left( {2 - x} \right) + {x^2}f''\left( x \right) = 2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng (1) ___4/3____.

Giải thích

Tại \(x = 0\) ta có: \(f\left( {2 - x} \right) + {x^2}f''\left( x \right) = 2x \Rightarrow f\left( 2 \right) = 0\)

Lại có: ${{\int }^{\text{}}}_0^{2}f\left(2-x\right)\text{d}x+{{\int }^{\text{}}}_0^2{x}^2{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\text{d}x={{\int }^{\text{}}}_0^{2}2x\text{ d}x={\left.x^2\right|}_0^2=4$

Xét $I_1={{\int }^{\text{}}}_0^{2}f\left(2-x\right)\text{d}x$

Đặt \(2 - x = t \Rightarrow {\rm{d}}x =  - {\rm{d}}t\)

Với \(x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 2 \Rightarrow t = 0\)

 $\Rightarrow I_1=-{{\int }^{\text{}}}_2^{0}f\left(t\right)\text{d}t={{\int }^{\text{}}}_0^{2}f\left(t\right)\text{d}t={{\int }^{\text{}}}_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x$

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = f\left( x \right)}\\{{\rm{d}}v = {\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = f'\left( x \right){\rm{d}}x}\\{v = x}\end{array}} \right.} \right.\)

 $\Rightarrow I_1={\left.\left(xf\left(x\right)\right)\right|}_0^2-{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=2f\left(2\right)-{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=-{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

Xét $I_2={{\int }^{\text{}}}_0^2{x}^2{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{{\rm{\;d}}v = f''\left( x \right){\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{d}}u = 2x{\rm{\;d}}x}\\{v = f'\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

 $\Rightarrow I_2={\left.\left(x^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right)\right|}_0^2-{{\int }^{\text{}}}_0^{2}2x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=4f^{\text{'}}\left(2\right)-2{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=8-2{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

Vậy .$-{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x+8-2{{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=4\Rightarrow {{\int }^{\text{}}}_0^{2}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\frac{4}{3}$