Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\) bất kì thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận.
Có duy nhất một điểm \(M\) thỏa mãn tiếp tuyến tại \(M\) tạo với hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(\sqrt 2 \).

Đáp án

Giải thích

Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = 2\) và đường tiệm cận ngang là \(x = 1\).

\( \Rightarrow I\left( {1;2} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \({\rm{\Delta }}:y =  - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}\).

Gọi \(A,B\) lần lượt là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và hai đường tiệm cận.

\( \Rightarrow A\left( {1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right),B\left( {2{x_0} - 1;2} \right)\).

Ta có  vuông tại \(I \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp  là

\(\frac{{AB}}{2} = \sqrt 2  \Leftrightarrow A{B^2} = 8\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} - 2} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 8\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0;1} \right)\\M\left( {2;3} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có 2 điểm \(M\) thỏa mãn.