Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng (1) ______.

Đáp án

Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng (1) __1/3__.

Giải thích

Gọi độ dài cạnh của tứ diện \(ABCD\) là \(x(x > 0)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CD\) và \(O\) là trọng tâm .

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AO \bot \left( {BCD} \right)\).

Ta có: \(BM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BM = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).

 vuông tại \(O\) có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều \(ABCD\) là: \(R = \frac{{A{B^2}}}{{2AO}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \sqrt 2 \).

Khi đó, thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là: \(V = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{1}{3}\).