Cho hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + ax - 4}}{x}} \right|\) (\(a\) là tham số). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {1;4} \right]\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\).
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất \(M =  - a + 3\) khi \(a <  - 3\).
Có 2 giá trị thực của \(a\) để \(M + 2m = 7\).

Đáp án

Giải thích

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + ax - 4}}{x}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = a - 3\\\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = a + 3\end{array} \right.\)
TH1: \(a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > 3\).

Ta có \(\left[ \begin{array}{l}\left| {a - 3} \right| = a - 3\\\left| {a + 3} \right| = a + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = a - 3\\M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = a + 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow a + 3 + 2\left( {a - 3} \right) = 7 \Leftrightarrow a = \frac{{10}}{3}\) (thỏa mãn).

TH2: \(a + 3 < 0 \Leftrightarrow a <  - 3\).

\(\left[ \begin{array}{l}\left| {a - 3} \right| =  - a + 3\\\left| {a + 3} \right| =  - a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| =  - a - 3\\M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| =  - a + 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow  - a + 3 + 2\left( { - a - 3} \right) = 7 \Leftrightarrow a =  - \frac{{10}}{3}\) (thỏa mãn).

TH3:\(a - 3 \le 0 \le a + 3 \Leftrightarrow  - 3 \le a \le 3\).

Ta có \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{|a + 3\mid  = a + 3\,\,\,}\\{|a - 3\mid  =  - a + 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} |g\left( x \right)\mid  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} |g\left( x \right)\mid  = {\rm{max}}\left\{ {a + 3; - a + 3} \right.}\end{array}} \right.\]

Khi đó \(M + 2m = 7 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a + 3 + 2.0 = 7\\a + 3 \ge  - a + 3\end{array}\\\begin{array}{l} - a + 3 + 2.0 = 7\\ - a + 3 > a + 3\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 4\\a \ge 0\end{array}\\\begin{array}{l}a =  - 4\\a < 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a =  \pm 4\) (không thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(a =  \pm \frac{{10}}{3}\).