Tổng tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(M\left( {0;3} \right)\) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3mx + 1\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\) là (1) _______.

Đáp án

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(M\left( {0;3} \right)\) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3mx + 1\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\) là (1) ___-1___.

Giải thích

Ta có \(y' = 3{x^2} + 3m;y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} =  - m\).

Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < 0\). (*)

Thực hiện phép chia \(y\) cho \(y'\) ta được phần dư \(2mx + 1\), nên đường thẳng \({\rm{\Delta }}:y = 2mx + 1\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt {4{m^2} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

Đối chiếu điều kiện \(\left( {\rm{*}} \right)\), ta có \(m =  - 1\) thỏa mãn.