Cho \(f\left( x \right) = \frac{3}{{\sqrt {x + 3}  - \sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt x }}\) với \(x > 0\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
\(A = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) +  \ldots  + f\left( {2024} \right) = \sqrt {2026}  - \sqrt 3 \).
Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 1 .
\(B = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) +  \ldots  + f'\left( {2024} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{3}{{\sqrt {x + 3}  - \sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt x }} = \frac{{3\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt x } \right)}}{{x + 3 - x}} - \frac{{2\left( {\sqrt {x + 2}  - \sqrt x } \right)}}{{x + 2 - x}}\)

\( = \left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt x } \right) - \left( {\sqrt {x + 2}  - \sqrt x } \right) = \sqrt {x + 3}  - \sqrt {x + 2} \)

Hay \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3}  - \sqrt {x + 2}  \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} < 0,\forall x > 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 0 \right),\forall x > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < \sqrt 3  - \sqrt 2 ,\forall x > 0\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Cách 1. Ta có:

\(A = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) +  \ldots  + f\left( {2024} \right)\)

    \( = \sqrt 4  - \sqrt 3  + \sqrt 5  - \sqrt 4  +  \ldots  + \sqrt {2027}  - \sqrt {2026} \)

    \( = \sqrt {2027}  - \sqrt 3 \)

\(B = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) +  \ldots  + f'\left( {2024} \right)\)

      \( = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{2\sqrt 5 }} - \frac{1}{{2\sqrt 4 }} +  \ldots  + \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt {2026} }}\)

    \( = \frac{1}{{2\sqrt {2027} }} - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\)

Cách 2. Sử dụng Casio

\(A = \mathop \sum \limits_{x = 1}^{2024} \left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {x + 2} } \right) \approx 43,29\)

    \(B = \mathop \sum \limits_{x = 1}^{2024} \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} \right) \approx  - 0,277\)