Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\) và ba điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right),B\left( {5;2;3} \right),C\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp\(S.ABC\) là (1) _________.

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\) và ba điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right),B\left( {5;2;3} \right),C\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp\(S.ABC\) là (1) __12____.

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(y - 2 = 0\).

Ta có thể tích \(S.ABC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Mà \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = 1 < R = 2\)

\( \Rightarrow d{(S;\left( {ABC} \right))_{{\rm{max}}}} = R + d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = 3\).

\({V_{S.AB{C_{{\rm{max}}}}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.d{(S;\left( {ABC} \right))_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{3}.12.3 = 12\).