Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, biết $AB = 2a,AD = a,SA = 3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$, điểm $E \in SA$ sao cho $SE = a$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BME} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt {70} }}{7}$.
Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {BME} \right)$ bằng $\frac{1}{{\sqrt {15} }}$.

Đáp án

Giải thích

Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ là góc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\\{a + b + c = {{(1 + 2 + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.$ . Khi đó

$sin\varphi  = \frac{{d(A;\alpha )}}{{d(A;\Delta )}}.$

Gọi $O = AC \cap BD$.

Gọi điểm $G$ là trọng tâm , kéo dài tia $BM$ cắt $AD$ tại $F$.

Ta có $\left( {SAC} \right) \cap \left( {BEF} \right) = EG$

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {BME} \right)$ là góc $\varphi$ có ${\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}}$.

Trong $\left( {SAC} \right)$, kẻ $AK \bot EG\left( {K \in EG} \right)$.

Ta có: $AE = SA - SE = 2a;AG = AC - GC = AC - \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3}AC = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}$

$\Rightarrow d\left( {A,EG} \right) = AK = \frac{{AE.AG}}{{\sqrt {A{E^2} + A{G^2}} }} = \frac{{a\sqrt {70} }}{7}$

Gọi $h = d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)$.

Ta có: $\frac{{FD}}{{FA}} = \frac{{DM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow FA = 2a$

Vì $AE,AB,AF$ đôi một vuông góc nên

$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow {\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}} = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow {\rm{cos}}\varphi  = \frac{1}{{\sqrt {15} }}$.