Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}}&{x \ne 0}\\3&{x = 0}\end{array}} \right.\). Biết a là giá trị để hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\). Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^2} - x + 36a < 0\). 

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

-Tìm ra a và giải bất phương trình.

Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn

Lời giải

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 3\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4x + 1}  - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}} = \frac{2}{{2a + 1}}\)

Hàm số liên tục tại \({x_0} = 0 \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{6}\)

Ta có bất phương trình \({x^2} - x + 36a < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3\)

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 4.

 Chọn A