Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 25)

Phương pháp giải

Điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Lời giải

Xét đáp án B:

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0.\)

Ta có: \(a = 1,b =  - \frac{1}{2},c =  - \frac{1}{2},d = 8\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - \frac{{13}}{2} < 0\).

Suy ra (1) không là phương trình đường tròn.

 Chọn B

Đáp án

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

Cho \(x \in \left( {0;20} \right)\), số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1\).

- Giải phương trình và bất phương trình.

Lời giải

\(f\left( x \right) =  - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( =  - 2\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4\)

Đặt \({\rm{cos}}x = t \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\)

\(f\left( x \right) = g\left( t \right) = 2{t^2} - 6t + 4\)

\(g\left( {\frac{3}{2}} \right) =  - \frac{1}{2};g\left( { - 1} \right) = 12;g\left( 1 \right) = 0\)

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{\rm{cos}}x = 2\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow x = k2\pi } \right.\)

Ta có \(x \in \left( {0;20} \right) \Rightarrow 0 < k2\pi  < 20\)

\( \Leftrightarrow 0 < k < 3,18 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là 3

\(f\left( x \right) \ge 12 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 \ge 12\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}x - 4} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x + 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \le  - 1\)

Mà \({\rm{cos}}x \ge  - 1 \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - 1\)

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Đáp án

Phương pháp giải

- Tính độ dài AB

- Gọi I là trung điểm của AB

Lời giải

Ta có \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(I\left( {1;0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2z - 3 = 0\)

Đáp án: "12"

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị.

Lời giải

Số cách xếp là 3!.2!=12 cách xếp.

Đáp án

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính.

Lời giải

Ta có \(z = \frac{{3 + 3i}}{{1 - i}} = 3i \Rightarrow M\left( {0;3} \right) \Rightarrow a = 0;b = 3\).

Phương pháp giải

Sử dụng tổ hợp chập k của n.

Lời giải 

Số cách chọn 3 vị khác nhau trong 6 vị là: \(C_6^3\).

 Chọn A

Đáp án

A Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

C Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Lời giải

Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) chưa chắc đã đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) vì vẫn có thể xảy ra trường hợp \(f'\left( x \right) = 0\forall x \in \left( {a;b} \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 1 sai.

Điểm \({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f\) nếu \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \({x_0} \Rightarrow \) Mệnh đề 2 đúng.

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 3 sai vì \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Cho hàm số \(f\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f \Rightarrow \) Mệnh đề 4 đúng.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{2x - 4}}\) có tiệm cận đứng \(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \) Mệnh đề 5 đúng.