Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 25)

Phương pháp giải

Tìm từ khóa chính, đối chiếu với ngữ liệu.

Lời giải

Căn cứ nội dung đoạn [3], nói rõ rằng những người tham gia không sử dụng chất khử mùi hoặc nước hoa và không có ai trong số họ mắc bệnh mù màu hoặc vấn đề liên quan đến nhận thức mùi. 

=> Thông tin Đúng.

 Chọn A

Phương pháp giải

Tìm từ khóa chính, đối chiếu với ngữ liệu.

Lời giải

Căn cứ nội dung đoạn [7], kết quả của nghiên cứu chỉ ra rằng có sự ảnh hưởng đáng kể của mùi hương đối với cảm nhận màu sắc của người tham gia. Ví dụ, khi hiển thị mùi của cà phê, họ thường nhận 'màu xám' thành màu đỏ nâu hơn là màu xám trung tính.

-> Điều này chứng tỏ mối liên quan giữa mùi hương và màu sắc có thể có ảnh hưởng đáng kể đối với cảm nhận của người tham gia.

 Chọn B

Phương pháp giải

Tìm từ khóa chính, đối chiếu với ngữ liệu.

Lời giải

A - Căn cứ nội dung đoạn [3]: “Năm 1601, chúa cho xây dựng một ngôi chùa trên đồi” -> thông tin đúng.

B - Căn cứ nội dung đoạn [4]: “Thiệu Trị lại cho trùng tu, xây thêm tháp Phước Duyên và đình Hương Nguyện, dựng hai tấm bia đá ghi khắc thơ văn của nhà vua.” -> thông tin đúng.

C - Căn cứ nội dung đoạn [4]: “Dưới thời Tây Sơn, chùa bị binh hỏa tàn phá nặng nề. Chùa được trùng tu vào năm 1815 và 1831 dưới thời vua Gia Long và vua Minh Mạng nhà Nguyễn.” -> thông tin đúng.

D - Căn cứ nội dung đoạn [4]: “Dưới thời chúa Nguyễn Phúc Chu, chùa được xây dựng lại với quy mô lớn hơn. Chúa cho đúc Đại hồng chuông và khắc một bài minh lên chuông.” -> chuông Đại hồng được đúc dưới thời chúa Nguyễn Phúc Tần là sai.

=> Đáp án cần chọn là D.

Phương pháp giải

Vận dụng lí thuyết về sự thụ nhiệt.

Lời giải

Để hấp thụ bức xạ nhiệt của Mặt trời được tốt nhất nên tấm tin trong máy thường sẽ có màu đen

 Chọn A

Phương pháp giải

Vận dụng lí thuyết thực tiễn đã biết và thông tin bài cung cấp.

Lời giải

Trong quá trình truyền nhiệt để hạn chế tối đa việc tiêu hao nhiệt thì người ta dùng một cách cách nhiệt sau tấm pin năng lượng.

 Chọn A

Phương pháp giải

Phân tích thông tin bài cung cấp.

Áp dụng công thức tính công suất và điện năng.

Lời giải

Công suất mỗi giây mới mỗi mét vuông của tấm pin là: \(P = \frac{A}{t} = 1000W\)

Cả tấm pin 2m2 khi đó công suất sẽ là: P′ = 2000W = 2kW

 Chọn C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính nhiệt lượng: Q = mcΔt

Lời giải

Năng lượng cần cung cấp bằng với nhiệt lượng nước thu vào:

Q = mcΔt = 100.4200.1 = 420000J = 420kJ

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

Phân tích thông tin bài cung cấp.

Vận dụng lí thuyết về dòng điện xoay chiều.

Lời giải

Ta có dòng điện xoay chiều sẽ có khả năng truyền tải ở cự li xa với hao phí thấp bằng cách tăng điện thế tại nguồn bằng cách sử dụng máy biến áp.

Phương pháp giải

Vận dụng lí thuyết đề cung cấp: khi nâng điện áp nguồn lên k lần thì công suất hao phí giảm đi k2

Lời giải

Ta có: khi nâng điện áp nguồn lên k lần thì công suất hao phí giảm đi k2 lần.

\( \Rightarrow \frac{{{P_{hp}}}}{{{P_{hp}}^\prime }} = \frac{{U{'^2}}}{{{U^2}}} = \frac{{{{600}^2}}}{{{{500}^2}}} = 1,44\)

=> công suất hao phí giảm 1,44 lần.

 Chọn A

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính công suất hao phí: \(\Delta P = R{I^2}\)

Lời giải

Công suất hao phí của đường dây: \(\Delta P = R{I^2} = {\left( {\frac{P}{U}} \right)^2}R = {\left( {\frac{{12000}}{{500}}} \right)^2}.10 = 5760\;{\rm{W}}\)

 Chọn C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính công suất hao phí: \(\Delta P = R{I^2} = R\frac{{{P^2}}}{{{{(U\cos \varphi )}^2}}}\)

Lời giải

Công suất hao phí: \(\Delta P = 10\% P\)

Ta có:

\(U = {U_1} \Rightarrow \Delta P = 10\% P = R\frac{{{P^2}}}{{{{\left( {{U_1}\cos \varphi } \right)}^2}}}\)(1)

\(U = {U_2} \Rightarrow \Delta P = 2,5\% P = R\frac{{{P^2}}}{{{{\left( {{U_2}\cos \varphi } \right)}^2}}}\)(2)

Lấy (1)/(2) \( \Rightarrow \frac{{10\% P}}{{2,5\% P}} = \frac{{R{P^2}}}{{U_1^2{{\cos }^2}\varphi }}.\frac{{U_2^2{{\cos }^2}\varphi }}{{R{P^2}}}\)

\( \Rightarrow 4 = \frac{{U_2^2}}{{U_1^2}} \Rightarrow {U_2} = 2{U_1} = 4kV\)

 Chọn B

Phương pháp giải

Dựa vào nhiệt độ sôi của nước và etanol, chất nào bay hơi trước thì sẽ giảm nồng độ trước.

Lời giải

Khi chưng cất rượu nấu, etanol có nhiệt độ sôi thấp hơn nước sẽ bay hơi trước nên tỉ lệ etanol/nước sẽ tăng dần. Vậy nhận định trên là nhận định sai.

 Chọn B

Phương pháp giải

Dung dịch rượu nấu là hỗn hợp của etanol và nước, nên nhiệt độ sôi của hỗn hợp này là nhiệt độ trung gian giữa nhiệt độ sôi hai chất.

Lời giải

Nhiệt độ sôi của etanol là 78,3oC, nhiệt độ sôi của nước là 100oC, thì nhiệt độ sôi của dung dịch rượu nấu sẽ cao hơn rượu và thấp hơn nước. Nhiệt độ sôi phù hợp là 85oC.

 Chọn C

Phương pháp giải

Thu được sản phẩm là tinh dầu sả chanh có đặc điểm là không tan trong nước.

Lời giải

Để thu được chất lỏng hữu cơ không tan trong nước người ta sử dụng phương pháp chưng cất lôi cuốn hơi nước.

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

Dựa vào quá trình thực hiện các phương pháp chưng cất.

Lời giải

- Phương pháp chưng cất phân đoạn dùng để tách hai hay nhiều chất lỏng có nhiệt độ sôi khác nhau không nhiều và tan lẫn hoàn toàn trong nhau, còn phương pháp chưng cất lôi cuốn hơi nước để tách chất lỏng có nhiệt độ sôi cao và không tan trong nước. Vậy nên nhận địnhn trên là đúng.

- Phương pháp chưng cất phân đoạn khó thực hiện hơn do cần làm ngưng tụ phân đoạn các hơi chất lỏng của sản phẩm theo mỗi nhiệt độ sôi khác nhau của mỗi chất. Vậy nên nhận định trên là sai.

- Không dùng các phương pháp chưng cất thường để tách các hợp chất hữu cơ có nhiệt độ sôi không quá khác biệt, như vậy thì sẽ chỉ thu được hỗn hợp hơi của tất cả các chất mà không có biện pháp tách riêng ra. Phương pháp chưng cất thường chỉ có thể tách các chất lỏng có nhiệt độ sôi có sự chênh lệch rõ ràng.

Phương pháp giải

Mục đích của phương pháp chưng cất.

Lời giải

Phương pháp chưng cất để sản xuất tinh dầu cam chanh từ vỏ chanh.

 Chọn C

Phương pháp giải

Dựa vào điều kiện thực hiện thí nghiệm 2.

Lời giải

Khi phản ứng chưa xảy ra thì không có khí trong ống tiêm thu sản phẩm, trước khi có sản phẩm thì ống tiêm không đổi, sau đó tăng lên.

 Chọn D

Phương pháp giải

Cách thực hiện và chất tham gia của thí nghiệm 1 và 2.

Lời giải

Nhận định trên là sai. Chất tham gia của thí nghiệm 1 là pha lỏng còn ở thí nghiệm 2 là pha khí.

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

Đọc thông tin về cách thực hiện quá trình 1 và 2.

Lời giải

- Nhận định: "Trong thí nghiệm 2, propan được tạo ra ở giai đoạn 2" là sai vì giai đoạn 3 mới là giai đoạn phản ứng xảy ra tạo ra sản phẩm.

- Nhận định: "Trong thí nghiệm 1, sau phản ứng có bột nhôm ở ống tiêm thu sản phẩm" là sai vì chất xúc tác và sản phẩm sẽ tách nhau ra chứ không đi về ống tiêm thu sản phẩm.

- Nhận định: "Phản ứng hoá học ở thí nghiệm 2 là phản ứng cộng" là đúng. Chất phản ứng là hai chất sau phản ứng chỉ thu được một sản phẩm nên phản ứng là phản ứng cộng.

Đáp án:

Hai thử nghiệm minh họa tác động của việc thay đổi khối lượng chất xúc tác đến thể tích propen được tạo ra là 1 | 2 và 2 | 1 trong thí nghiệm 1.

Phương pháp giải

Dựa vào bảng 1 của thí nghiệm 1.

Lời giải

Thí nghiệm 1 và 2 là thí nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng chất xúc tác đến thể tích propen thu được. 

Phương pháp giải

Quan sát các điều kiện thực hiện thí nghiệm 2 trong bảng 2.

Lời giải

Thời gian thực hiện thử nghiệm 4 quá ngắn nên không tạo ra sản phẩm.

 Chọn D

Phương pháp giải

Đọc kĩ các thông tin được cung cấp

Lời giải

Vi khuẩn và Archaea (vi khuẩn cổ) có cấu trúc tế bào là tế bào nhân sơ. Sinh vật nguyên sinh, nấm, động vật và thực vật đều được cấu tạo từ tế bào nhân chuẩn.

Đáp án: Vi khuẩn, Archaea (vi khuẩn cổ)

 Chọn A, B

Phương pháp giải

Đọc kĩ thông tin đã cho về bệnh Thalassemia.

Lời giải

Thiếu hụt tổng hợp chuỗi α, do đột biến tại một hay nhiều gen tổng hợp chuỗi α-globin gây ra bệnh α-Thalassemia  

-> Bệnh nhân này đã mắc bệnh α-Thalassemia.

 Chọn A

Phương pháp giải

Điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Lời giải

Xét đáp án B:

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0.\)

Ta có: \(a = 1,b =  - \frac{1}{2},c =  - \frac{1}{2},d = 8\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - \frac{{13}}{2} < 0\).

Suy ra (1) không là phương trình đường tròn.

 Chọn B

Đáp án

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

Cho \(x \in \left( {0;20} \right)\), số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1\).

- Giải phương trình và bất phương trình.

Lời giải

\(f\left( x \right) =  - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( =  - 2\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4\)

Đặt \({\rm{cos}}x = t \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\)

\(f\left( x \right) = g\left( t \right) = 2{t^2} - 6t + 4\)

\(g\left( {\frac{3}{2}} \right) =  - \frac{1}{2};g\left( { - 1} \right) = 12;g\left( 1 \right) = 0\)

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{\rm{cos}}x = 2\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow x = k2\pi } \right.\)

Ta có \(x \in \left( {0;20} \right) \Rightarrow 0 < k2\pi  < 20\)

\( \Leftrightarrow 0 < k < 3,18 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là 3

\(f\left( x \right) \ge 12 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 \ge 12\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}x - 4} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x + 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \le  - 1\)

Mà \({\rm{cos}}x \ge  - 1 \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - 1\)

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Đáp án

Phương pháp giải

- Tính độ dài AB

- Gọi I là trung điểm của AB

Lời giải

Ta có \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(I\left( {1;0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2z - 3 = 0\)

Đáp án: "12"

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị.

Lời giải

Số cách xếp là 3!.2!=12 cách xếp.

Đáp án

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính.

Lời giải

Ta có \(z = \frac{{3 + 3i}}{{1 - i}} = 3i \Rightarrow M\left( {0;3} \right) \Rightarrow a = 0;b = 3\).

Phương pháp giải

Sử dụng tổ hợp chập k của n.

Lời giải 

Số cách chọn 3 vị khác nhau trong 6 vị là: \(C_6^3\).

 Chọn A

Đáp án

A Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

C Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Lời giải

Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) chưa chắc đã đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) vì vẫn có thể xảy ra trường hợp \(f'\left( x \right) = 0\forall x \in \left( {a;b} \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 1 sai.

Điểm \({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f\) nếu \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \({x_0} \Rightarrow \) Mệnh đề 2 đúng.

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 3 sai vì \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Cho hàm số \(f\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f \Rightarrow \) Mệnh đề 4 đúng.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{2x - 4}}\) có tiệm cận đứng \(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \) Mệnh đề 5 đúng.

Đáp số

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Lời giải

+) Với \({x_1};{x_2} \in \left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} < 0\) thì \({x_1};{x_2} \in \left( {a;0} \right)\)

Mà hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;0} \right)\) nên \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

=> Mệnh đề 1 sai

+) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;0} \right)\) nên với \({x_0} \in \left( {a;0} \right)\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\)

=> Mệnh đề 2 đúng

+) Quan sát đồ thị ta thấy khi \(x \in \left[ {a;b} \right]\) thì \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)

Khi đó với \({x_0} \in \left( {0;b} \right)\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) < f\left( a \right)\)

=> Mệnh đề 3 đúng

Đáp án: "1296"

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân.

Lời giải 

Số cách tạo một số gồm 4 chữ số từ tập hợp gồm các chữ số \(1,2,3,4,5,6\) là: \({6^4} = 1296\).

Đáp án

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: 1

Công sai của cấp số cộng là: 2

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) và \({S_n} = \frac{{n.\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\).

Lời giải

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{12}} = 23}\\{{S_{12}} = 144}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 11d = 23}\\{\frac{{12}}{2}\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right) = 144}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{d = \frac{{23 - {u_1}}}{{11}} = 2.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Đáp án: "7"

Phương pháp giải

TH1: Dương lấy trước và lấy đúng tờ 20.000

TH2: Dương lấy trước và lấy đúng tờ 50.000

Lời giải

TH1: Dương lấy trước và lấy đúng tờ 20.000 , xác suất lấy trúng tờ 20.000 là \(\frac{6}{{10}}\)

Khi đó xác suất để Nguyên lấy được tờ 50.000 là \(\frac{4}{9}\)

TH2: Dương lấy trước và lấy đúng tờ 50.000 , xác suất lấy trúng tờ 50.000 là \(\frac{4}{{10}}\)

Khi đó xác suất để Nguyên lấy được tờ 50.000 là \(\frac{3}{9}\)

Xác suất để Nguyên lấy được tờ 50.000 là \(\frac{6}{{10}}.\frac{4}{9} + \frac{4}{{10}}.\frac{3}{9} = \frac{2}{5}\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết về ứng dụng diện tích.

Lời giải

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) được tính theo công thức $S={{\int }^{\text{}}}_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx$

 Chọn B

Phương pháp giải

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \({\rm{lim}}{v_n} = 0\) thì \({\rm{lim}}{u_n} = 0\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{{{{( - 1)}^n}{{.2}^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} \le \frac{{{2^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}}\)

Mà \({\rm{lim}}\frac{{{2^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} = 0\) nên \({\rm{lim}}\frac{{{{( - 1)}^n}{{.2}^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} = 0\)

 Chọn A

Đáp án

B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

C. \(f\left( { - 1} \right) < f\left( 4 \right) < f\left( 1 \right)\).

Xét từng mệnh đề.

- Số cực trị của \(y = f\left( x \right)\)

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên những khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\).

- Tính tích phân từ - 1 đến 1 , từ 1 đến 4 và từ -1 đến 4 rồi so sánh \(f\left( { - 1} \right),f\left( 1 \right),f\left( 4 \right)\).

Lời giải

Ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\) cắt đường thẳng \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.

Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ba cực trị \( \Rightarrow \) Khẳng định đúng \( \Rightarrow \) Loại.

Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) không đồng biến \( \Rightarrow \) Khẳng định 2 sai \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Tính tích phân: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx = f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) > 0} \) vì \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right)\)

 vì \(f'\left( x \right) < 0\forall x \in \left( {1;4} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 4 \right)\)

 do phần diện tích bên dưới lớn hơn.

\( \Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\)

Khẳng định 3 sai \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) bằng \(f\left( 4 \right)\) vì \(f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\).

\( \Rightarrow \) Khẳng định đúng \( \Rightarrow \) Loại.

 Chọn B, C

Đáp án

A. 30

C. 2070

Phương pháp giải

Nhận xét dấu của \(x,y\).

Lời giải

\({x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right).\left( {x + y} \right)\)

\(91 = 7.13 = 1.91\)

Vì \(x,y \in \mathbb{N}\) nên \(x + y > 0,x - y > 0\) và \(x - y < x + y\)

Khi đó:

\({x^2} - {y^2} = 91\)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 7}\\{x + y = 13}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{x + y = 91}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 46}\\{y = 45}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\]

Khi đó \(x.y = 30\) hoặc \(x.y = 2070\).

 Chọn A, C

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

-Tìm ra a và giải bất phương trình.

Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn

Lời giải

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 3\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4x + 1}  - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}} = \frac{2}{{2a + 1}}\)

Hàm số liên tục tại \({x_0} = 0 \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{6}\)

Ta có bất phương trình \({x^2} - x + 36a < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3\)

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 4.

 Chọn A

Đáp án

Phương pháp giải

Đặt \(t = 111 \ldots 1\) (2024 chữ số 1).

Lời giải

Nếu \(a\) chẵn thì \(a = 2k \Rightarrow {a^2} = 4{k^2} \Rightarrow {a^2} \vdots 4 \Rightarrow \) Khẳng định 1 đúng.

Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào vì dễ thấy giữa \({n^2}\) và \({(n + 1)^2}\) không thể tồn tại \({k^2}\) thỏa mãn: \(n < k < n + 1 \Rightarrow \) Khẳng định 2 đúng.

Ta có: \(A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} +  \ldots  + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\)                 

\[ \Leftrightarrow A = \underbrace {111 \ldots 1}_{2024}\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\]

Đặt \(t = 111 \ldots 1\) (2024 chữ số 1).

\( \Rightarrow 9t + 1 = {10^{2024}}\)

Suy ra:

\(A = t.\left( {9t + 1 + 11} \right) + 5\)

\(A = 9{t^2} + 12t + 4 + 1\)

\(A = {(3t + 2)^2} + 1\)

Ta thấy \({(3t + 2)^2}\) là số chính phương nên \(A\) không là số chính phương.

\( \Rightarrow \) Khẳng định 3 sai.

Đáp án: "1"

Phương pháp giải

\(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

Lời giải

Theo bài ra, ta có \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 = 2C_{2n}^2 \Leftrightarrow 2n + \frac{{\left( {2n - 2} \right)\left( {2n - 1} \right)2n}}{6} = 2.\frac{{\left( {2n - 1} \right)2n}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{{4{n^2} - 6n + 2}}{6} = 2n - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{n^2} - 6n + 8}}{6} = 2n - 1\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 3n + 4 = 6n - 3\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 9n + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 1}\\{n = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy có 1 giá trị của \(n\) thỏa mãn.

Đáp án: “32”

Phương pháp giải

Số cách các xếp học sinh vào ghế là \(\left( {2n + 1} \right)\)!

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) lập thành một cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) nên \(a + c\) là số chẵn. Như vậy \(a,c\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Lời giải

Số cách các xếp học sinh vào ghế là \(\left( {2n + 1} \right)\)!

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) lập thành một cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) nên \(a + c\) là số chẵn. Như vậy \(a,c\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến \(2n - 2\) có \(n - 1\) số chẵn và \(n - 1\) số lẻ.

Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau:

- Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa. Bước này có \(A_{n - 1}^2 + A_{n - 1}^2\) cách.

- Bước 2: Xếp chỗ cho \(2n - 2\) học sinh còn lại. Bước này có \(\left( {2n - 2} \right)\)!

Như vậy số cách xếp thỏa theo yêu cầu này là \(2A_{n - 1}^2.\left( {2n - 2} \right)\)!

Ta có phương trình \(\frac{{2A_{n - 1}^2.\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {2n + 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{2.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}.\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {2n + 1} \right)!}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2.\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{\left( {2n + 1} \right).2n.\left( {2n - 1} \right)}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{{n.\left( {4{n^2} - 1} \right)}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow 31.\left( {4{n^3} - n} \right) = 4368\left( {{n^2} - 3n + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 124{n^3} - 4368{n^2} + 13073n - 8736 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 32\) (do n \(n \in {\mathbb{N}^*}\))

Vậy số học sinh của lớp là 32.

Đáp án

Phương pháp giải

Tính từng giá trị hoặc sử dụng máy tính bỏ túi.

Lời giải

Tính u15:

Cách bấm máy tính CASIO FX580 VNX:

\( - 20\) là giá trị đầu tiên.

\( - 2A \to B\) là giá trị của \({u_{2n}}\)

\(3A \to A\) là giá trị của \({u_{2n + 1}}\)

Ta có: 15 là số lẻ nên

\({u_{15}} =  - 43740 \Rightarrow \) Khẳng định 1 sai.

Tính \({S_{15}}\):

Cách bấm máy tính CASIO FX580 VNX:

Khi đó \({S_{15}} =  - 21880 \Rightarrow \) Khẳng định 2 đúng.

Cứ như thế thì khi \({S_n} = 65600 \Rightarrow n = 16 \Rightarrow \) Khẳng định 3 sai.

Phương pháp giải

Bước 1: Giải bất phương trình tương đương

Bước 2: Biện luận để tìm giá trị của m

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

Lời giải

Ta có bất phương trình tương đương với:

\(\left( {x - m.} \right){2^x} - 4\left( {x - m} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{2^x} - 4} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m > 0}\\{{2^x} - 4 < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m < 0}\\{{2^x} - 4 > 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > m}\\{x < 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < m}\\{x > 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (*). Dễ dàng thấy cụm điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > m}\\{x < 2}\end{array}} \right.\) không tồn tại giá trị nguyên dương nào với mọi m nguyên dương nên (*) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < m}\\{x > 2}\end{array}} \right.\)

Để chứa đúng 5 số nguyên dương tức tập giá trị từ bất phương trình trên nhận từ 3 đến 7. Như vậy với \(m = 8\) thì thỏa điều kiện đề bài

 Chọn D

Đáp án

Độ dài đoạn thẳng \(HB\) là \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(\frac{{{a^3}\sqrt {13} }}{{16}}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí cos.

Lời giải

Áp dụng định lí cos cho tam giác \(HBC\) ta được:

\(H{B^2} = H{C^2} + B{C^2} - 2HC.BC.{\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\( = {\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)^2} + {a^2} - 2.\frac{{3a}}{4}.a.\frac{1}{2}\)

\( = \frac{{13{a^2}}}{{16}} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

Góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\) nên \(\widehat {SBH} = {60^ \circ } \Rightarrow SH = HB\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt {39} }}{4}\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {39} }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( = \frac{{\sqrt {13} }}{{16}}{a^3}\)

Đáp án: "6893"

Phương pháp giải

Tính số trang có 1, 2, 3, 4 chữ số.

Lời giải

Số trang có 1 chữ số: 9 trang.

Số trang có 2 chữ số: 90 trang.

Số trang có 3 chữ số: 900 trang.

Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.

Ta có: 2000 = 9+90+900+1001

Số chữ số để đánh số trang là: 9.1 + 90.2 + 900.3 + 1001.4 = 6893

Phương pháp giải

Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu

Lời giải

Ta có tọa dộ tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

 Chọn D

Đáp án

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là chân đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)

- Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AO\) ta được hình nón có thể tích là: \({V_N}\), có đáy là đường tròn đường kính \(BC\)

Lời giải

Gọi \(H\) là chân đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)

Vì tam giác \(ABC\) đều nên ta có: \(AH = 3OH = 3r\), \(AH = BC\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow BC = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AH = .r2\sqrt 3 \)

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(AO\) ta được hình nón có thể tích là: \({V_N}\), có đáy là đường tròn đường kính \(BC\) khi đó: \({S_N} = \pi H{C^2} = \pi {r^2}3\), chiều cao của hình nón là:\(AH = 3r\), khi đó thể tích hình nón là: \({V_N} = \frac{1}{3}AH.{S_N} = \frac{1}{3}3r.\pi {r^2}3 = 3\pi {r^3}\) (đvtt)

Thể tích khối cầu khi quay hình tròn \(\left( {O;r} \right)\) quanh trục \(AO\) là: \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)

Vậy thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác \(ABC\) đã cắt bỏ phần hình tròn quanh trục \(AO\) là: \(V = {V_N} - {V_C} = 3\pi {r^3} - \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{5}{3}\pi {r^3}\)

Đáp án

A. Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

C. Hàm số đã cho có đạo hàm cấp 2 và \(f''\left( 1 \right) < 0\).

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Lời giải

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} + 5x - 2\) có:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 8x + 5\)

\(f''\left( x \right) = 6x - 8\)

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(f\left( { - x} \right) = {( - x)^3} - 4{( - x)^2} + 5\left( { - x} \right) - 2\)

\( =  - {x^3} - 4{x^2} - 5x - 2 \ne f\left( x \right)\)

Hàm số đã cho không là hàm số chẵn.

Hàm số đã cho có đạo hàm cấp 2 và \(f''\left( 1 \right) = 6 - 8 =  - 2 < 0\).

Đồ thị của hàm số đã cho không phải là một parabol.

Giới hạn \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty  \Rightarrow \) Mệnh đề cuối sai.

 Chọn A, C

Đáp án: "0"

Phương pháp giải

Tìm \(m\) để hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + x + d\) có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) nhỏ hơn \(I\).

(\(I = 1,2,3,4,5,6, \ldots )\)

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\end{array}} \right.\)(1)

- Bước 3: Biến đổi \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < I\) thành \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - 4{x_1} \cdot {x_2} < {I^2}\) (2)

- Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo \(m\).

- Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Lời giải

\(y =  - {x^3} + 3{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\)

ТХÐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 6x + m - 1,{\rm{\Delta '}} = 3m + 6\)

Nếu \({\rm{m}} \le  - 2 \Rightarrow {\rm{\Delta '}} \le 0 \Rightarrow {\rm{y'}} \ge 0\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số không có khoảng đồng biến.

Nếu \(m >  - 2 \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\), và \(y' \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\)

\( \Rightarrow \) Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| < 1 \Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{\rm{.}}{{\rm{x}}_2} < 1\)

\( \Leftrightarrow 4 + \frac{{4\left( {m - 1} \right)}}{3} < 1 \Leftrightarrow m <  - \frac{5}{4}\)

Vậy \( - 2 < m <  - \frac{5}{4} \Rightarrow \) Có 0 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án

Độ dài đoạn thẳng \(AP\) là \(\frac{{3a}}{2}\)

Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \({45^o}\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \(\frac{a}{3}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Pytago.

- Áp dụng định lý cosin cho \(\Delta ACP\).

- Chuyển đổi đỉnh và sử dụng công thức tính thể tích để tính khoảng cách.

Lời giải

Do \(AC\) song song với \(MN\) nên góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AP\).

\(PC = \sqrt {C'{C^2} + C'{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AP = \sqrt {A'{A^2} + A'{P^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{3a}}{2}\)

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lý cosin cho  ta có

\({\rm{cos}}\widehat {CAP} = \frac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}}{{2AP.AC}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {CAP} = {45^ \circ }\).

Vây góc giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng \({45^ \circ }\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng khoảng cách giữa \({\rm{MN}}\) và mặt phẳng \(\left( {APC} \right)\).

\(d\left( {MN,\left( {APC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {APC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{{3{V_{D.APC}}}}{{{S_{APC}}}}\)

Ta có: \({S_{APC}} = \frac{1}{2}.AP.AC.{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\({V_{D.APC}} = \frac{1}{3}.A'A.{S_{ACD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

\( \Rightarrow d\left( {MN,AP} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{a}{3}\)

Đáp án

Khoảng cách từ \({\rm{B}}\) đến \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(BH\)

Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\widehat {BSH}\)

Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\widehat {SBA}\)

Phương pháp giải

- Chứng minh \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

- Chứng minh \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với giao tuyến của \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Lời giải

\(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) nên \(BH \bot AC \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BH\).

\( \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(\widehat {BSH}\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \(BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\widehat {SBA}\).

Phương pháp giải

Lời giải

Để \(\widehat {\vec u,\vec v)} < {90^ \circ } \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {\left( {\vec u,\vec v} \right)} > 0\).

\( \Rightarrow \vec u.\vec v > 0 \Leftrightarrow 3 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 + 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_m}2 > 0\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_m}2 > 0 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_m}2 >  - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{0 < m < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

 Chọn D

Phương pháp giải

-Nhận xét giá trị của \(a\).

-Nhân liên hợp để tìm \(b\).

Dạng vô định \(\infty \) - \(\infty \)

Lời giải

Xét \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = 5\).

+ Nếu \(a \ne 1\) thì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right)\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - a + \frac{b}{x}} \right) = \infty \)

Vì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty }\\{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - a + \frac{b}{x}} \right) = 1 - a \ne 0}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(a = 1\)

Khi đó: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - x + b} \right)\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 1 - {{(x - b)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  + x - b}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right)x + 1 - {b^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  + x - b}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right) + \frac{{1 - {b^2}}}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  + 1 - \frac{b}{x}}} = \frac{{2b - 4}}{2} = b - 2\)

Mà \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = 5\) nên \(b - 2 = 5 \Leftrightarrow b = 7\).

Vậy \(T = {a^3} + {b^2} = 50\)

 Chọn D

Đáp án

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\)

- Biến đổi biểu thức tìm z.

- Xét từng giá trị của \(z\) để tìm Min.

Lời giải

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \left| {\left( {z + 2i} \right)\left( {z - 2i} \right)\left|  =  \right|\left( {z + 2i} \right)z\left|  \Rightarrow  \right|z + 2i} \right|\left( {\left| {z - 2i} \right| - \left| z \right|} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z + 2i} \right| = 0}\\{\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{z = x + i\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Nếu \(z =  - 2i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = 1\)

Nếu \(z = x + i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = \sqrt {{x^2} + 4}  \ge 2\)

Vậy \({\rm{min}}P = 1\).

Đáp án: “1”

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)

Vì \(C \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array} \Rightarrow C\left( { - 1 + 2t;t;2 - t} \right)} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {2t;t - 3;1 - t} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3t - 7; - 3t - 1;3t - 3} \right)\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59} \)

\({S_{ABC}} = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow m.n.p = 1\)

Phương pháp giải

Gọi số lượng lá bèo ban đầu là \({M_0}\) thì số lượng lá bèo sau \(t\) giờ là : \(M\left( t \right) = {M_0}{.2^t}\)

- Tính lượng lá bèo sau 1 ngày và khi phủ kín \(\frac{1}{4}\) hồ.

- Lập phương trình và tìm \(t\).

Lời giải

Gọi số lượng lá bèo ban đầu là \({M_0}\) thì số lượng lá bèo sau \(t\) giờ là : \(M\left( t \right) = {M_0}{.2^t}\).

Số lượng lá bèo sau 1 ngày là : \(M\left( {24} \right) = {M_0}{.2^{24}}\).

Khi số lượng lá bèo phủ kín \(\frac{1}{4}\) hồ ta có:  

\(M\left( t \right) = \frac{1}{4}M\left( {24} \right) \Leftrightarrow {M_0}{.2^t} = \frac{1}{4}{M_0}{.2^{24}} \Leftrightarrow t = 22\)

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

- Biến đổi \(a,b\) theo \(t\).

- Thay vào \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}\frac{{5b - a}}{2} = t\) và giải phương trình mũ.

Lời giải

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{16}}b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}\frac{{5b - a}}{2} = t\).

\( \Leftrightarrow a = {9^t};b = {16^t};\frac{{5b - a}}{2} = {12^t}\)

\(\frac{{5b - a}}{2} = {12^t} \Leftrightarrow 5b - a = {12^t}.2\)

\( \Leftrightarrow {5.16^t} - {9^t} - {2.12^t} = 0\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left( {{4^t}} \right)^2} - {2.4^t}{.3^t} - {\left( {{3^t}} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 5.{\left[ {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^t}} \right]^2} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^t} = \frac{{1 + \sqrt 6 }}{5}\left( {TM} \right)}\\{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^t} = \frac{{1 - \sqrt 6 }}{5}{\rm{\;(Loai)\;}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{{1 + \sqrt 6 }}{5} \Rightarrow t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{4}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 6 }}{5} < 0\)

\(\frac{a}{b} = {\left[ {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = {\left( {\frac{5}{{1 + \sqrt 6 }}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định 1 và 3 sai, khẳng định 2 đúng.

Đáp án: “2”

Phương pháp giải

- Biến đổi về \(\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) - \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) = 3\)

- Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

Lời giải

Ta có \({u_{n + 1}} - 2{u_n} + {u_{n - 1}} = 3 \Leftrightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) - \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) = 3\)

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_n} - {v_{n - 1}} = 3 = d}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 3\left( {n - 1} \right) = 3n - 2\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} - {u_n} = 3n - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_2} - {u_1} = 3.1 - 2}\\{{u_3} - {u_2} = 3.2 - 2}\\{ \ldots  \ldots .... \ldots  \ldots }\\{{u_n} - {u_{n - 1}} = 3\left( {n - 1} \right) - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Cộng vế theo vế ta được \({u_n} = 1 + 3\left( {1 + 2 + 3 +  \ldots  \ldots  + n - 1} \right) - 2.\left( {n - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {u_n} = 1 + 3.\frac{{n.\left( {n - 1} \right)}}{2} - 2n + 2 = \frac{{2 + 3{n^2} - 3n - 4n + 4}}{2} = \frac{{3{n^2} - 7n + 6}}{2}\)

Do đó \(a = 3,b =  - 7,c = 6 \Rightarrow a + b + c = 2\).

Đáp án: “2532”

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình rồi nguyên hàm hai vế tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

Thay \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\) vào tìm hằng số \(C\).

Tính \(P = 1 + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) +  \cdots  + f\left( {2024} \right)\).

Lời giải

Giả thiết tương đương với: \(\frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 3\).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {2x + 3} \right)dx\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 3x + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + C}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{1}{{4 + C}}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\), nên ta có \(\frac{1}{{4 + C}} = \frac{1}{6} \Rightarrow C = 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\)

\(P = 1 + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) +  \ldots  + f\left( {2024} \right)\)

\( = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} +  \ldots  + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)

\( = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{2026}} = \frac{{1519}}{{1013}}\)