Số nguyên $a$ được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là $a = {b^2}$ với $b$ là số nguyên.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

	ĐÚNG	SAI
Nếu $a$ chẵn thì ${a^2} \vdots 4$
Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào.
$A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} +  \ldots  + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5$ là số chính phương.

Đáp án

Phương pháp giải

Đặt $t = 111 \ldots 1$ (2024 chữ số 1).

Lời giải

Nếu $a$ chẵn thì $a = 2k \Rightarrow {a^2} = 4{k^2} \Rightarrow {a^2} \vdots 4 \Rightarrow$ Khẳng định 1 đúng.

Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào vì dễ thấy giữa ${n^2}$ và ${(n + 1)^2}$ không thể tồn tại ${k^2}$ thỏa mãn: $n < k < n + 1 \Rightarrow$ Khẳng định 2 đúng.

Ta có: $A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} +  \ldots  + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5$                 

$\Leftrightarrow A = \underbrace {111 \ldots 1}_{2024}\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5$

Đặt $t = 111 \ldots 1$ (2024 chữ số 1).

$\Rightarrow 9t + 1 = {10^{2024}}$

Suy ra:

$A = t.\left( {9t + 1 + 11} \right) + 5$

$A = 9{t^2} + 12t + 4 + 1$

$A = {(3t + 2)^2} + 1$

Ta thấy ${(3t + 2)^2}$ là số chính phương nên $A$ không là số chính phương.

$\Rightarrow$ Khẳng định 3 sai.