Số nguyên \(a\) được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là \(a = {b^2}\) với \(b\) là số nguyên.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

	ĐÚNG	SAI
Nếu \(a\) chẵn thì \({a^2} \vdots 4\)
Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào.
\(A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} +  \ldots  + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\) là số chính phương.

Đáp án

Phương pháp giải

Đặt \(t = 111 \ldots 1\) (2024 chữ số 1).

Lời giải

Nếu \(a\) chẵn thì \(a = 2k \Rightarrow {a^2} = 4{k^2} \Rightarrow {a^2} \vdots 4 \Rightarrow \) Khẳng định 1 đúng.

Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào vì dễ thấy giữa \({n^2}\) và \({(n + 1)^2}\) không thể tồn tại \({k^2}\) thỏa mãn: \(n < k < n + 1 \Rightarrow \) Khẳng định 2 đúng.

Ta có: \(A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} +  \ldots  + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\)                 

\[ \Leftrightarrow A = \underbrace {111 \ldots 1}_{2024}\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\]

Đặt \(t = 111 \ldots 1\) (2024 chữ số 1).

\( \Rightarrow 9t + 1 = {10^{2024}}\)

Suy ra:

\(A = t.\left( {9t + 1 + 11} \right) + 5\)

\(A = 9{t^2} + 12t + 4 + 1\)

\(A = {(3t + 2)^2} + 1\)

Ta thấy \({(3t + 2)^2}\) là số chính phương nên \(A\) không là số chính phương.

\( \Rightarrow \) Khẳng định 3 sai.