Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là \(4{\rm{\;cm}}\) và chiều cao là \(8{\rm{\;cm}}\). Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Diện tích thiết diện là _______

Tính thể tích của vật thể đã cho là V = _______

Đáp án

Diện tích thiết diện là \(\frac{{64}}{3}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tính thể tích của vật thể đã cho là V = \(16\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích giữa \(y = {e^x}\) và \(y = 0\).

Tìm hàm số \(x\) theo \(y\).

Lời giải

\( \Leftrightarrow {e^k} - 1 = 3\left( {5 - {e^k}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4{e^k} = 16\)

\( \Leftrightarrow {e^k} = 4 \Leftrightarrow k = {\rm{ln}}4\)

Gọi hàm số biểu diễn cho đường cong là:

\(y = a{x^2} + b\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b =  - 8}\\{a.4 - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b =  - 8}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow y = 2{x^2} - 8\)

Diện tích thiết diện là:

\(y = 2{x^2} - 8 \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{y + 8}}{2}} \)

Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường

\(x = \sqrt {\frac{{y + 8}}{2}} ,x = 0,y =  - 8,y = 0\) quanh trục tung.

Khi đó $V=\pi {{\int }^{\text{}}}_{-8}^0\frac{y+8}{2}dy={\left.\pi \left(\frac{1}{4}{y}^2+4y\right)\right|}_{-8}^0=16\pi$