Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1,{u_2} = 2}\\{{u_{n + 1}} - 2{u_n} + {u_{n - 1}} = 3\left( {n \in N,n \ge 2} \right)}\end{array}} \right.\).

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng \({u_n} = \frac{{a{n^2} + bn + c}}{2}\left( {\forall n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)\).

Khi đó \(a + b + c\) bằng ______

Đáp án: “2”

Phương pháp giải

- Biến đổi về \(\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) - \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) = 3\)

- Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

Lời giải

Ta có \({u_{n + 1}} - 2{u_n} + {u_{n - 1}} = 3 \Leftrightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) - \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) = 3\)

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_n} - {v_{n - 1}} = 3 = d}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 3\left( {n - 1} \right) = 3n - 2\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} - {u_n} = 3n - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_2} - {u_1} = 3.1 - 2}\\{{u_3} - {u_2} = 3.2 - 2}\\{ \ldots  \ldots .... \ldots  \ldots }\\{{u_n} - {u_{n - 1}} = 3\left( {n - 1} \right) - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Cộng vế theo vế ta được \({u_n} = 1 + 3\left( {1 + 2 + 3 +  \ldots  \ldots  + n - 1} \right) - 2.\left( {n - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {u_n} = 1 + 3.\frac{{n.\left( {n - 1} \right)}}{2} - 2n + 2 = \frac{{2 + 3{n^2} - 3n - 4n + 4}}{2} = \frac{{3{n^2} - 7n + 6}}{2}\)

Do đó \(a = 3,b =  - 7,c = 6 \Rightarrow a + b + c = 2\).