Tìm số nguyên dương \(m\) sao cho tập nghiệm của bất phương trình \(x{.2^x} - m{.2^x} - 4x + 4m < 0\) chứa đúng 5 số nguyên dương? 

Phương pháp giải

Bước 1: Giải bất phương trình tương đương

Bước 2: Biện luận để tìm giá trị của m

Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

Lời giải

Ta có bất phương trình tương đương với:

\(\left( {x - m.} \right){2^x} - 4\left( {x - m} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{2^x} - 4} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m > 0}\\{{2^x} - 4 < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m < 0}\\{{2^x} - 4 > 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > m}\\{x < 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < m}\\{x > 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (*). Dễ dàng thấy cụm điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > m}\\{x < 2}\end{array}} \right.\) không tồn tại giá trị nguyên dương nào với mọi m nguyên dương nên (*) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < m}\\{x > 2}\end{array}} \right.\)

Để chứa đúng 5 số nguyên dương tức tập giá trị từ bất phương trình trên nhận từ 3 đến 7. Như vậy với \(m = 8\) thì thỏa điều kiện đề bài

 Chọn D