Cho hàm số $f\left( x \right) =  - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ là _______.

Cho $x \in \left( {0;20} \right)$, số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ là: _______.

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \ge 12$ trên đường tròn lượng giác là _______.

Đáp án

Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ là 12.

Cho $x \in \left( {0;20} \right)$, số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \ge 12$ trên đường tròn lượng giác là 1 .

Phương pháp giải

Sử dụng công thức ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1$.

- Giải phương trình và bất phương trình.

Lời giải

$f\left( x \right) =  - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6$

$=  - 2\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - 6{\rm{cos}}x + 6$

$= 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4$

Đặt ${\rm{cos}}x = t \Rightarrow  - 1 \le t \le 1$

$f\left( x \right) = g\left( t \right) = 2{t^2} - 6t + 4$

$g\left( {\frac{3}{2}} \right) =  - \frac{1}{2};g\left( { - 1} \right) = 12;g\left( 1 \right) = 0$

Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ là 12.

$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{\rm{cos}}x = 2\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow x = k2\pi } \right.$

Ta có $x \in \left( {0;20} \right) \Rightarrow 0 < k2\pi  < 20$

$\Leftrightarrow 0 < k < 3,18 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}$

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ là 3

$f\left( x \right) \ge 12 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 \ge 12$

$\Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x - 8 \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}x - 4} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}x + 1 \le 0$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}x \le  - 1$

Mà ${\rm{cos}}x \ge  - 1 \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - 1$

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \ge 12$ trên đường tròn lượng giác là 1 .