Điền số tự nhiên vào ô trống:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right);B\left( {0;2; - 1} \right)\). Gọi \(C\left( {m;n;p} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(2\sqrt 2 \). Giá trị của tích \(m.n.p\) bằng

Đáp án: _______

Đáp án: “1”

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)

Vì \(C \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 2 - t}\end{array} \Rightarrow C\left( { - 1 + 2t;t;2 - t} \right)} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {2t;t - 3;1 - t} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3t - 7; - 3t - 1;3t - 3} \right)\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59} \)

\({S_{ABC}} = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {27{t^2} - 54t + 59}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow m.n.p = 1\)