Câu hỏi:
12/11/2024 17
Biết a,b là các số thực thỏa mãn: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right) = 5\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^2}\)?
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
-Nhận xét giá trị của \(a\).
-Nhân liên hợp để tìm \(b\).
Dạng vô định \(\infty \) - \(\infty \)
Lời giải
Xét \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right) = 5\).
+ Nếu \(a \ne 1\) thì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right)\)
\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - a + \frac{b}{x}} \right) = \infty \)
Vì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } x = + \infty }\\{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - a + \frac{b}{x}} \right) = 1 - a \ne 0}\end{array}} \right.\)
Do đó: \(a = 1\)
Khi đó: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - x + b} \right)\)
\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 1 - {{(x - b)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1} + x - b}}\)
\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right)x + 1 - {b^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1} + x - b}}\)
\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right) + \frac{{1 - {b^2}}}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{b}{x}}} = \frac{{2b - 4}}{2} = b - 2\)
Mà \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right) = 5\) nên \(b - 2 = 5 \Leftrightarrow b = 7\).
Vậy \(T = {a^3} + {b^2} = 50\)
Chọn D
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nhận định dưới đây là đúng hay sai?
Trong quá trình chưng cất rượu nấu, tỉ lệ etanol/nước giảm dần.
Nhận định dưới đây là đúng hay sai?
Trong quá trình chưng cất rượu nấu, tỉ lệ etanol/nước giảm dần.
Xem đáp án »
05/07/2024
1,401
Câu 2:
Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đề
Điền cụm từ (tối đa 03 từ) vào chỗ trống:
Với máy nước nóng, nguyên lí truyền nhiệt sẽ là _______
Xem đáp án »
13/07/2024
1,269
Câu 4:
Phần tư duy đọc hiểu
Hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.
Con người có xu hướng liên kết những màu sắc ấm với cảm nhận nhiệt độ cao.
Phần tư duy đọc hiểu
Hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.
Con người có xu hướng liên kết những màu sắc ấm với cảm nhận nhiệt độ cao.
Xem đáp án »
05/07/2024
755
Câu 5:
Chọn các đáp án chính xác
Nhóm sinh vật nào sau đây được cấu tạo từ tế bào nhân sơ?
Chọn các đáp án chính xác
Nhóm sinh vật nào sau đây được cấu tạo từ tế bào nhân sơ?
Xem đáp án »
05/07/2024
313
Câu 6:
Điền từ thích hợp vào chỗ trống:
Công suất hao phí do tỏa nhiệt trên đường dây dẫn điện tỉ lệ _______ với bình phương hiệu điện thế của hai đầu đường dây dẫn điện. Đồng thời, với cùng công suất, điệp áp truyền đi và điện trở đường dây, mạch có hệ số công càng _______ thì công suất hao phí càng nhỏ.
Điền từ thích hợp vào chỗ trống:
Công suất hao phí do tỏa nhiệt trên đường dây dẫn điện tỉ lệ _______ với bình phương hiệu điện thế của hai đầu đường dây dẫn điện. Đồng thời, với cùng công suất, điệp áp truyền đi và điện trở đường dây, mạch có hệ số công càng _______ thì công suất hao phí càng nhỏ.
Xem đáp án »
13/07/2024
309
Câu 7:
Điều nào sau đây mô tả đúng nhất điều gì đã xảy ra với ống tiêm 60 ml trong thí nghiệm 1?
Khi bơm propanol vào ống xúc tác, khoảng cách từ đầu pittông đến đầu ống tiêm là:
Điều nào sau đây mô tả đúng nhất điều gì đã xảy ra với ống tiêm 60 ml trong thí nghiệm 1?
Khi bơm propanol vào ống xúc tác, khoảng cách từ đầu pittông đến đầu ống tiêm là:
Xem đáp án »
05/07/2024
277
về câu hỏi!