Biết a,b là các số thực thỏa mãn: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1} - ax + b} \right) = 5\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^2}\)?

Phương pháp giải

-Nhận xét giá trị của \(a\).

-Nhân liên hợp để tìm \(b\).

Dạng vô định \(\infty \) - \(\infty \)

Lời giải

Xét \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = 5\).

+ Nếu \(a \ne 1\) thì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right)\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - a + \frac{b}{x}} \right) = \infty \)

Vì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty }\\{\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - a + \frac{b}{x}} \right) = 1 - a \ne 0}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(a = 1\)

Khi đó: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - x + b} \right)\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 1 - {{(x - b)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  + x - b}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right)x + 1 - {b^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  + x - b}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {2b - 4} \right) + \frac{{1 - {b^2}}}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  + 1 - \frac{b}{x}}} = \frac{{2b - 4}}{2} = b - 2\)

Mà \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 1}  - ax + b} \right) = 5\) nên \(b - 2 = 5 \Leftrightarrow b = 7\).

Vậy \(T = {a^3} + {b^2} = 50\)

 Chọn D