Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {{z^2} + 2iz} \right|\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

	ĐÚNG	SAI
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường thẳng.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z + i} \right|\) là 1 .

Đáp án

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\)

- Biến đổi biểu thức tìm z.

- Xét từng giá trị của \(z\) để tìm Min.

Lời giải

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \left| {\left( {z + 2i} \right)\left( {z - 2i} \right)\left|  =  \right|\left( {z + 2i} \right)z\left|  \Rightarrow  \right|z + 2i} \right|\left( {\left| {z - 2i} \right| - \left| z \right|} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z + 2i} \right| = 0}\\{\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{z = x + i\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Nếu \(z =  - 2i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = 1\)

Nếu \(z = x + i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = \sqrt {{x^2} + 4}  \ge 2\)

Vậy \({\rm{min}}P = 1\).