Trong một lớp có \(2n + 1\) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng \(2n - 2\) học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến \(2n + 1\), mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là \(\frac{{31}}{{4368}}\).

Số học sinh của lớp là _______

Đáp án: “32”

Phương pháp giải

Số cách các xếp học sinh vào ghế là \(\left( {2n + 1} \right)\)!

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) lập thành một cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) nên \(a + c\) là số chẵn. Như vậy \(a,c\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Lời giải

Số cách các xếp học sinh vào ghế là \(\left( {2n + 1} \right)\)!

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) lập thành một cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) nên \(a + c\) là số chẵn. Như vậy \(a,c\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến \(2n - 2\) có \(n - 1\) số chẵn và \(n - 1\) số lẻ.

Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau:

- Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa. Bước này có \(A_{n - 1}^2 + A_{n - 1}^2\) cách.

- Bước 2: Xếp chỗ cho \(2n - 2\) học sinh còn lại. Bước này có \(\left( {2n - 2} \right)\)!

Như vậy số cách xếp thỏa theo yêu cầu này là \(2A_{n - 1}^2.\left( {2n - 2} \right)\)!

Ta có phương trình \(\frac{{2A_{n - 1}^2.\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {2n + 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{2.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}.\left( {2n - 2} \right)!}}{{\left( {2n + 1} \right)!}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2.\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{\left( {2n + 1} \right).2n.\left( {2n - 1} \right)}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{{n.\left( {4{n^2} - 1} \right)}} = \frac{{31}}{{4368}}\)

\( \Leftrightarrow 31.\left( {4{n^3} - n} \right) = 4368\left( {{n^2} - 3n + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 124{n^3} - 4368{n^2} + 13073n - 8736 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 32\) (do n \(n \in {\mathbb{N}^*}\))

Vậy số học sinh của lớp là 32.