Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\) đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 .

Số phần tử của S là _______

Đáp án: "0"

Phương pháp giải

Tìm \(m\) để hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + x + d\) có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) nhỏ hơn \(I\).

(\(I = 1,2,3,4,5,6, \ldots )\)

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\end{array}} \right.\)(1)

- Bước 3: Biến đổi \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < I\) thành \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - 4{x_1} \cdot {x_2} < {I^2}\) (2)

- Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo \(m\).

- Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Lời giải

\(y =  - {x^3} + 3{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\)

ТХÐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 6x + m - 1,{\rm{\Delta '}} = 3m + 6\)

Nếu \({\rm{m}} \le  - 2 \Rightarrow {\rm{\Delta '}} \le 0 \Rightarrow {\rm{y'}} \ge 0\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số không có khoảng đồng biến.

Nếu \(m >  - 2 \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\), và \(y' \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\)

\( \Rightarrow \) Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| < 1 \Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{\rm{.}}{{\rm{x}}_2} < 1\)

\( \Leftrightarrow 4 + \frac{{4\left( {m - 1} \right)}}{3} < 1 \Leftrightarrow m <  - \frac{5}{4}\)

Vậy \( - 2 < m <  - \frac{5}{4} \Rightarrow \) Có 0 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.