Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), biết \(f'\left( x \right) + \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right) = 0,f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\) và \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\).

Biết \(P = 1 + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) +  \cdots  + f\left( {2024} \right) = \frac{a}{b}\) (Với \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0,\,\,\frac{a}{b}\)là phân số tối giản).

Khi đó giá trị của \(a + b\) bằng: ______

Đáp án: “2532”

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình rồi nguyên hàm hai vế tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

Thay \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\) vào tìm hằng số \(C\).

Tính \(P = 1 + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) +  \cdots  + f\left( {2024} \right)\).

Lời giải

Giả thiết tương đương với: \(\frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 3\).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {2x + 3} \right)dx\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 3x + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + C}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{1}{{4 + C}}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\), nên ta có \(\frac{1}{{4 + C}} = \frac{1}{6} \Rightarrow C = 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\)

\(P = 1 + f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) +  \ldots  + f\left( {2024} \right)\)

\( = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} +  \ldots  + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)

\( = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{2026}} = \frac{{1519}}{{1013}}\)