Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,BC,C'D'\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Độ dài đoạn thẳng \(AP\) là _______

Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là _______

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là _______

Đáp án

Độ dài đoạn thẳng \(AP\) là \(\frac{{3a}}{2}\)

Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \({45^o}\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) là \(\frac{a}{3}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Pytago.

- Áp dụng định lý cosin cho \(\Delta ACP\).

- Chuyển đổi đỉnh và sử dụng công thức tính thể tích để tính khoảng cách.

Lời giải

Do \(AC\) song song với \(MN\) nên góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AP\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(AP\).

\(PC = \sqrt {C'{C^2} + C'{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AP = \sqrt {A'{A^2} + A'{P^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{3a}}{2}\)

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lý cosin cho  ta có

\({\rm{cos}}\widehat {CAP} = \frac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}}{{2AP.AC}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {CAP} = {45^ \circ }\).

Vây góc giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng \({45^ \circ }\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({\rm{MN}}\) và \({\rm{AP}}\) bằng khoảng cách giữa \({\rm{MN}}\) và mặt phẳng \(\left( {APC} \right)\).

\(d\left( {MN,\left( {APC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {APC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\left( {APC} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{{3{V_{D.APC}}}}{{{S_{APC}}}}\)

Ta có: \({S_{APC}} = \frac{1}{2}.AP.AC.{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\({V_{D.APC}} = \frac{1}{3}.A'A.{S_{ACD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

\( \Rightarrow d\left( {MN,AP} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{a}{3}\)