Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;4} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\), \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\). Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(A\), vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\) có phương trình là 

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi điểm \(M\left( {1 - t;1 + t;2t} \right) \in {d_2}\). Suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Bước 2: Tìm vecto chỉ phương đường thẳng \({d_1}\)

Bước 3: \(AM \bot {d_1}\left( {AM \equiv {\rm{\Delta }}} \right)\) nên tìm được \(t\)

Bước 4: Lập phương trình cần tìm bằng cách thay \(t\) đã rìm được vào \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Lời giải

Gọi \(M\left( {1 - t;1 + t;2t} \right) \in {d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do \(AM \bot {d_1}\left( {AM \equiv {\rm{\Delta }}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} .{\vec u_1} = 0 \Leftrightarrow 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(A\left( {1;2;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2};1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5;3;2} \right)\), có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).

 Chọn D