Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 26)

Đáp án: "kiêu hãnh"

Phương pháp giải

Xét logic câu từ.

Lời giải

Căn cứ nội dung đoạn [3]: “Cái tư thế ngồi ấy, hai con mắt ấy và toàn bộ con người ấy toát ra một vẻ kiêu hãnh, khiến tôi hết sức khó chịu, đầy ác cảm.” -> “kiêu hãnh” phù hợp nội dung vế sau “toát lên một vẻ tự hào”.

=> Từ cần điền là kiêu hãnh.

Phương pháp giải

Đọc kĩ thông tin bài đọc.

Lời giải

Các loài sử dụng nguồn thức ăn khác nhau thì cấu tạo của cơ quan tiêu hóa khác nhau để phù hợp với nguồn thức ăn để tối ưu hóa hiệu quả tiêu hóa.

Đáp án: Sai

Phương pháp giải

Đọc kĩ thông tin bài đọc.

Lời giải

- Báo đốm là động vật ăn thịt có dạ dày đơn.

- Trâu, bò, nai là động vật nhai lại có dạ dày 4 túi.

- Ngựa là động vật ăn thực vật có dạ dày đơn.

Đáp án: Báo đốm, ngựa.

 Chọn C, D

Phương pháp giải

Phân tích thông tin từ đề bài.

Vận dụng lí thuyết về momen của vật rắn

Lời giải

Khi đứng bằng một chân thì lực tác dụng lên chân hay các cơ chính là trọng lượng của cơ thể.

Áp dụng điều kiện để cân bằng lực ta có: \[T{d_1} = P{d_2}\]

\( \Rightarrow T = \frac{{P{d_2}}}{{{d_1}}} = \frac{{72.9,81.13,{{5.10}^{ - 2}}}}{{5,{{2.10}^{ - 2}}}} = 1,{83.10^3}\;{\rm{N}}\)

Chọn C

Phương pháp giải

Phân tích thông tin bài cung cấp.

Sử dụng số liệu từ câu trước.

Lời giải

Ta có  lực căng đặc hiệu (lực căng tối đa trên một đơn vị diện tích) của cơ bắp chân là:

\(F = \frac{T}{S} = \frac{{1,{{83.10}^3}}}{{{{23.10}^{ - 4}}}} = 7,{96.10^5}\;{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2}\)

 Chọn A

Phương pháp giải

Sử dụng lí thuyết về động lượng đã được học.

Lời giải

Ta có độ biến thiên động lượng trong quá trình va chạm được xác định bằng: Δp = FΔt

Khi đó, lực tác dụng lên xương chày của B trong quá trình va chạm là: \[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\]

Ban đầu chưa có va chạm xảy ra thì: \[{p_1} = m{v_1} = 0\]

\( \Rightarrow F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{m{v_2}}}{{\Delta t}} = \frac{{3,2.4,25}}{{{{55.10}^{ - 3}}}} = 247N\)

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

So sánh số liệu từ câu trên đã tính được.

Lời giải

Ta có lực tác dụng trong câu tính được là 247N trên 6,2.10² mm2

Mà lực chịu được tối đa là 3,60N trên 4,90.10² (mm2)

=> xương chày vẫn chưa bị gãy.

Phương pháp giải

Phân tích bằng số liệu bài cung cấp.

Lời giải

Ta xác định lực hấp thụ bằng cách lấy hiệu (lực tác động - lực cảm biến) chia có thời gian tác động.

Khi đó thứ tự đúng sẽ là: 6 – 1 – 2 – 3 – 5 – 4 - 7

 Chọn A

Đáp án

Phương pháp giải

Dựa vào thông tin về sự va chạm của các phân tử.

Lời giải

- Nhận định “Tất cả các phân tử hóa học khi đã xảy ra sự va chạm với nhau thì đều là va chạm có hiệu quả” là SAI vì theo như bài đọc, không phải tất cả các va chạm của các phân tử hóa học là va chamj có hiệu quả.

- Nhận định “Tất cả các phân tử hóa học khi đã xảy ra sự va chạm với nhau thì đều xảy ra phản ứng hóa học” là SAI, vì phải là những va chạm có hiệu quả thì mới có phản ứng hóa học xảy ra.

- Nhận định “Năng lượng hoạt hóa của một phản ứng hóa học càng lớn thì phản ứng hóa học đó càng dễ xảy ra” là SAI. Năng lượng hoạt hóa của một phản ứng hóa học càng lớn thì phản ứng đó càng khó xảy ra.

- Nhận định “Khi Ea càng lớn thì k càng nhỏ, tốc độ phản ứng càng nhỏ” là ĐÚNG. Dựa vào phương trình kinh nghiệm Arrhenius có thể nhận thấy điều này.

Phương pháp giải

Đổi nhiệt độ thành độ K.

Lời giải

Gọi hằng số tốc độ phản ứng của phản ứng này tại 400K là x.

Theo phương trình Arrhenius:

\(\ln \frac{{{k_{{T_2}}}}}{{{k_{{T_1}}}}} = \frac{{{E_a}}}{R}.\left( {\frac{1}{{{T_1}}} - \frac{1}{{{T_2}}}} \right) \Rightarrow \ln \frac{x}{{8,{{17.10}^{ - 3}}}} = \frac{{103,{{5.10}^3}}}{{8,314}}.\left( {\frac{1}{{45 + 273}} - \frac{1}{{65 + 273}}} \right) \Rightarrow x = 0,083\)

 Chọn B

Phương pháp giải

Áp dụng phương trình Arrhenius.

Lời giải

Phương trình Arrhenius trong 2 điều kiện là:

\({k_1} = A \times {e^{\frac{{{E_{a1}}}}{{RT}}}}\)

\({k_2} = A \times {e^{\frac{{{E_{a2}}}}{{RT}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = {e^{\frac{{{E_{a2}} - {E_{a1}}}}{{RT}}}} = {e^{\frac{{(50 - 25){{.10}^3}}}{{8,314.373}}}} = 3170,4\)

Vậy khi năng lượng hoạt hóa giảm từ 50 kJ/mol về 25 kJ/mol, tốc độ phản ứng tăng lên 3170,4 lần.

 Chọn B

Phương pháp giải

Dựa vào thông tin đã cho trong đầu bài.

Lời giải

Đáp án sai là đáp án C. Tăng nhiệt độ không làm giảm năng lượng hoạt hóa của phản ứng.

 Chọn C

Phương pháp giải

Đọc kĩ thông tin đoạn đọc.

Lời giải

Các gen nằm trong vùng co xoắn (vùng dị nhiễm sắc) của NST sẽ không được biểu hiện. Chỉ những gen nằm trong vùng giãn xoắn (vùng nguyên nhiễm sắc) mới có cơ hội được biểu hiện. Vì thế, tế bào có thể điều hòa sự biểu hiện của gen bằng cách co, giãn xoắn NST.

Đáp án:

- Các gen nằm trong vùng dị nhiễm sắc của NST không được biểu hiện.

- Các gen nằm trong vùng nguyên nhiễm sắc của NST sẽ được biểu hiện.

 Chọn A, D

Phương pháp giải

Cả 3 câu trên đều sai

Vận dụng lí thuyết về truyền tin bằng sóng vô tuyến.

Dựa vào thông tin bài cung cấp.

Lời giải

Ta có trong mạch chọn sóng sẽ chọn lọc sóng muốn thu nhờ mạch cộng hưởng đồng nghĩa với dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số riêng của mạch.

Vì với dao động cưỡng bức với tần số bằng với tần số riêng của mạch thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra.

 Chọn B

Phương pháp giải

Phân tích thông tin bài cung cấp.

Vận dụng lí thuyết đã học về truyền tin bằng sóng điện từ.

Lời giải

Ta có để thu sóng thì chúng ta cần anten.

Trong quá trình thu và phát sóng nhờ có anten ta chọn lọc được sóng cần thu. Khi phát sóng cần mắc một máy dao động điều hòa với anten (mạch biến điệu và khuếch đại).

Còn có thiết bị có thể vừa thu và phát sóng điện từ như điện thoại.

 Chọn B, C, D

Đáp án

Các giai đoạn thu sóng điện từ trong máy thu thanh là: chọn sóng - khuếch đại cao tần - tách sóng - khuếch đại âm tần - chuyển thành sóng âm

Phương pháp giải

Phân tích thông tin bài cung cấp

Lời giải

Các giai đoạn trong máy thu thanh:

+ Anten thu: thu sóng điện từ  từ cao tần biến điệu

+ Chọn sóng: chọn lọc sóng muốn thu nhờ mạch cộng hưởng.

+ Tách sóng: lấy ra dao động âm tần từ cao động cao tần biến điệu.

+ Mạch khuếch đại âm tần: là mạnh dao động âm tầm rồi đưa ra loa

Từ quá trình trên ta có sắp xếp như sau:

chọn sóng – khuếch đại cao tần – tách sóng – khuếch đại âm tần – chuyển thành sóng âm

Phương pháp giải

Vận dụng lí thuyết đã học về truyền tin bằng sóng vô tuyến.

Lời giải

Ta có trong “máy bắn tốc độ” xe cộ trên đường có cả máy phát và máy thu vô tuyến. Chú ý rằng, máy này hoạt động dựa trên hiệu ứng Đôp-le nên nó vừa phát ra sóng điện từ vừa phải thu sóng điện từ phản xạ trở lại.

 Chọn C

Phương pháp giải

Vận dụng lí thuyết về phương, chiều của véctơ cường độ điện trường, véctơ cảm ứng từ và vận tốc truyền sóng trong điện từ trường.

Áp dụng quy tắc cái đinh ốc

Lời giải

Ta có:

+ Véctơ cường độ điện trường \(\overrightarrow E \) và véctơ cảm ứng từ \(\overrightarrow B \) luôn luôn vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng. 3 véctơ \(\overrightarrow E \), \(\overrightarrow B \) và \(\overrightarrow v \) tại mọi điểm tạo với nhau thành một tam diện thuận.

+ Áp dụng quy tắc đinh ốc theo chiều thuận: từ \(\overrightarrow E \) → \(\overrightarrow B \), khi đó chiều tiến của đinh ốc là v

+ Do \(\overrightarrow E \), \(\overrightarrow B \) cùng pha => Khi đó véctơ cường độ điện trường có độ lớn cực đại và hướng về phía Tây

Chọn A

 

Phương pháp giải

Vận dụng công thức \(\lambda  = cT = \frac{c}{f} = 2\pi c\sqrt {LC} \)

Lời giải

Ta có: \(\lambda  = cT = \frac{c}{f} = 2\pi c\sqrt {LC} \)

\( \Leftrightarrow 2\pi {.3.10^8}.\sqrt {{{5.10}^{ - 6}}{{.10.10}^{ - 12}}}  \le \lambda  \le 2\pi {.3.10^8}.\sqrt {{{5.10}^{ - 6}}{{.250.10}^{ - 12}}} \)

\( \Rightarrow 13,3 \le \lambda  \le 66,6\,\,({\rm{m}})\)

 Chọn B

Phương pháp giải

Trong các phản ứng hóa học chỉ có lớp vỏ electron bị thay đổi.

Lời giải

Trong các phản ứng hóa học chỉ có lớp vỏ electron bị thay đổi. từ đó sinh ra chất hóa học mới chứ không sinh ra nguyên tố hóa học mới, nên phản ứng phân ra uranium không phải là một phản ứng hóa học.

 Chọn B

Phương pháp giải

Dựa vào thông tin về phóng xạ β: Sau phóng xạ β, điện tích hạt nhân nguyên tử tăng 1 đơn vị, số khối không thay đổi.

Lời giải

Phản ứng của phóng xạ β là \(_Z^AX \to _{ - 1}^0e + _{Z + 1}^AX'\).

 Chọn B

Phương pháp giải

Dựa vào thông tin về các loại phóng xạ:

- Phóng xạ α: Sau phóng xạ α, điện tích hạt nhân nguyên tử giảm 2 đơn vị và số khối giảm hẳn 4 đơn vị.

- Phóng xạ β: Sau phóng xạ β, điện tích hạt nhân nguyên tử tăng 1 đơn vị, số khối không thay đổi.

- Phóng xạ β+ : Sau phóng xạ β+, điện tích hạt nhân nguyên tử giảm 1 đơn vị, số khối không thay đổi.

Lời giải

Kí hiệu của hạt α, β, β+ lần lượt là \(_2^4{\rm{He}},\,\,_{ + 1}^0e,\,\,_{ - 1}^0e\).

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

Dựa vào đoạn thông tin trong đề bài.

Lời giải

Nhận định “Khả năng đâm xuyên của các tia phóng xạ có thể sắp xếp theo thứ tự là: γ < β < α” là sai.

Phương pháp giải

Dựa vào định luật bảo toàn điện tích hạt nhân và số khối.

Lời giải

Theo định luật bảo toàn điện tích hạt nhân và số khối, nguyên tố mới được tạo ra là \(_{56}^{141}{\rm{Ba}}\).

Đáp án

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề

Lời giải

Khẳng định 1 sai vì không hàm số chỉ đồng biến trên các khoảng liền nhau.

Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) không đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) là đúng.

Đáp án: "-3"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tích phân.

Lời giải

\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3 - 6 =  - 3\)

Phương pháp giải

Bước 1: Tách về 1 vế đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\)

Bước 2: Phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt.

Dấu của tam thức bậc hai

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành

Lời giải

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} =  - m\)

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\); ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)

Đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) tại ba điểm phân biệt khi \( - 4 <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\)

Phương pháp giải

- Xét \[f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)\]

- Tính giá trị biểu thức.

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + 3}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = \frac{9}{{9 + {{3.9}^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\)

\( = \frac{3}{{3 + {9^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = 1\)

Ta thấy \(\frac{1}{{2022}} + \frac{{2021}}{{2022}} = 1 \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1\)

Tương tự có: \(f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2020}}{{2022}}} \right) = 1; \ldots \)

Vậy có tất cả là 1010 cặp số và thừa \(f\left( {\frac{{1011}}{{2022}}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) +  \cdots  + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1.1010 + \frac{1}{2} = \frac{{2021}}{2}\)

 Chọn A

Phương pháp giải

Đặt \({x^3} - 2x + 1 = t\), đổi cận và tính tích phân.

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \({\rm{t}} = {\rm{u}}\left( {\rm{x}} \right)\)

Lời giải

Đặt \({x^3} - 2x + 1 = t \Rightarrow \left( {3{x^2} - 2} \right)dx = dt \Leftrightarrow \left( {9{x^2} - 6} \right)dx = 3dt\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Leftrightarrow t = 1}\\{x = 1 \Leftrightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)}  = \int\limits_1^0 {{e^t}.3dt}  = \left. {3.{e^t}} \right|_1^0 = 3 - 3e\)

 Chọn B

Phương pháp giải

- Tìm \(z\) và \(\overline z \)

- Tìm \(w\)

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Lời giải

Ta có: \(z = 4 - i \Rightarrow w = 1 - \overline z  = 1 - \left( {4 + i} \right) =  - 3 - i\)

=> Điểm biểu diễn số phức w là điểm D(-3;-1)

 Chọn C

Đáp án: "144"

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị.

Lời giải

Số cách xếp là 3!.4!=144 cách xếp.

Đáp án: "9"

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện của cosx

Lời giải

Ta có:

\( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow 7 - 2.\left( { - 1} \right) \ge 7 - 2{\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 7 - 2.1\)

\( \Leftrightarrow 5 \le y \le 9\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 9, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.

Đáp án: "0.075 | 0,075"

Phương pháp giải

Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 15}}{{x - 2}} = 3 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} [f(x) - 15] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 15\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 15}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)[\sqrt {2f(x) + 6}  + 4]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 15}}{{x - 2}}.\frac{1}{{(x + 2).[\sqrt {2f(x) + 6}  + 4]}}\)

\( = 3.\frac{1}{{\left( {2 + 2} \right).\left( {\sqrt {2.15 + 6}  + 4} \right)}} = \frac{3}{{40}}\)

Đáp án

Với \(k = 1\) thì diện tích \({S_1}\) bằng 1,72.

Với \(k = 1\) thì diện tích \({S_2}\) bằng 1,28.

Để \({S_1} = 2{S_2}\) thì giá trị của \(k\) bằng 1,1.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích giữa \(y = {e^x}\) và \(y = 0\).

Lời giải

\({S_1} = \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = e - 1 \approx 1,72\)

\({S_2} = \int\limits_1^{\ln 4} {{e^x}dx}  = 4 - e \approx 1,28\)

\({S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \int\limits_0^k {{e^x}dx}  = 2\int\limits_k^{\ln 4} {{e^x}dx} \)

\( \Leftrightarrow {e^k} - 1 = 2\left( {4 - {e^k}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{e^k} = 9\)

\( \Leftrightarrow {e^k} = 3 \Leftrightarrow k \approx 1,1\)

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(9S = 9 + 99 + 999 +  \ldots  + \underbrace {999...9}_{n\,\,s\`e \,\,9}\)

\(\begin{array}{l} = (10 - 1) + (100 - 1) +  \ldots  + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\\ = \left( {10 + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^n}} \right) - n\\ = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{{10 - 1}} - n = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n\end{array}\)

\( \Rightarrow S = \frac{{10}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{n}{9}.\)

 Chọn B

Đáp án:

Khi đó: x = 5; y = 13

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất cấp số cộng.

Lời giải

\(1,\,\,x,\,\,9,\,\,y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 1 + 9}\\{2.9 = x + y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 13}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án: "108"

Phương pháp giải

Phân tích thành tích các thừa số nguyên tố.

Lời giải

\(70560 = {2^5}{.3^2}{.5.7^2}\) nên nó có tất cả 6.3.2.3 \( = 108\) ước nguyên dương.

Phương pháp giải

Xét \[f\prime \left( x \right) > 0\]

Lời giải

Ta có : \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\)

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

 Chọn C

Đáp án:

\(F\left( \pi  \right) = \)1

\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \frac{1}{2}F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \)2,75 | 2.75

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân giữa 2 cận để tính.

Lời giải

Ta có: \(F\left( \pi  \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi  {{\rm{sin}}2xdx}  = 0 \Rightarrow F\left( \pi  \right) = F\left( 0 \right) = 1\)

\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{sin}}2xdx}  = 1 \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\)

\(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{sin}}2xdx}  = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}\)

\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \frac{1}{2}F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2 + \frac{1}{2}.\frac{3}{2} = \frac{{11}}{4} = 2,75\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{ - \frac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)}\end{array}} \right.\)

Tìm m để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{(x + m)}^2}}}\).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{ - m \notin \left( { - 1;1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 4 < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m \le  - 1}\\{ - m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m < 2}\\{ - 2 < m \le  - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m =  \pm 1\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Chọn B

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{{\rm{[}} - 1;3]} y;\mathop {{\rm{max}}}\limits_{a[ - 1;3]} y\)

Bước 2: Để \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( a \right) > 0}\\{f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 2 - m;y\left( 1 \right) =  - 2 - m;y\left( 3 \right) = 18 - m\)

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y =  - 2 - m;\,\,\mathop {{\rm{max}}}\limits_{a\left[ { - 1;3} \right]} y = 18 - m\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right)\).

Vì \(a,b,c \in \left[ { - 1;3} \right]\) nên \( - 2 - m \le f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right) \le 18 - m\).

Để \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( a \right) > 0}\\{f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)}\end{array}\left( {\rm{*}} \right)} \right.\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 - m \le f\left( a \right)}\\{ - 2 - m \le f\left( b \right)}\end{array} \Rightarrow f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge  - 4 - 2m} \right.\).

Do đó (*) luôn đúng khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 - m > 0}\\{ - 4 - 2m \ge 18 - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 2}\\{m \le  - 22}\end{array} \Leftrightarrow m \le  - 22} \right.} \right.\).

 Chọn A

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng trong xác suất.

Tính chất

Quy tắc nhân xác suất

Lời giải

Gọi \({\rm{A}}\) và \({\rm{B}}\) lần lượt là biến cố người thứ nhất và người thứ hai có bóng vào lỗ.

Vì vậy nên \(\overline A \) và \(\overline B \) sẽ lần lượt là các biến cố người thứ nhất và người thứ hai không có bóng vào lỗ.

Kết hợp với đề bài, ta tính được: \(P\left( {\overline A } \right) = 100{\rm{\% }} - P\left( A \right) = 46{\rm{\% }}\), \(P\left( {\overline B } \right) = 100{\rm{\% }} - P\left( B \right) = 55{\rm{\% }}\)

Xác suất để chỉ có một người chơi có bóng trong lỗ là :

\(P\left( {A.\overline B } \right) + P\left( {\overline A .B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A } \right) = 54{\rm{\% }}.55{\rm{\% }} + 45{\rm{\% }}.46{\rm{\% }} = 50,4{\rm{\% }}\)

 Chọn B

Đáp án

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và các tính chất tích phân.

Lời giải

Hiển nhiên ta thấy \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)d} x - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \)

\({\left( {\int\limits_a^c {f(x)dx} } \right)^2} = \int\limits_a^c {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \) là sai, chẳng hạn \({\left( {\int\limits_1^2 {xdx} } \right)^2} = \frac{9}{4};\int\limits_1^2 {{x^2}dx}  = \frac{7}{3}\)

\({\left( {\int\limits_a^c {f(x)dx} } \right)^'} = \int\limits_a^c {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^'}dx} \) là sai vì \({\left( {\int\limits_a^c {f(x)dx} } \right)^'} = 0;\int\limits_a^c {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^'}dx}  = f(c) - f(a)\) .

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) tạo với khối chóp S.ABCD

- Tính tỉ số thể tích khối đa diện dựa trên công thức tính nhanh

Lời giải

Giả sử (P) cắt SB tại N, cắt SD tại P

Ta có thiết diện là ANMP

Gọi G là giao điểm của AM và SO

Xét  : Do AM và SO là các trung tuyến nên G là trọng tâm

Xét

\( \Rightarrow \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)

Giả sử thể tich khối chóp S.ABCD là V

Ta có: \(\frac{{{V_{S.ANMP}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{{SB}}{{SN}} + \frac{{SD}}{{SP}} + \frac{{SC}}{{SM}} + 1}}{{4.\frac{{SB}}{{SN}}.\frac{{SD}}{{SP}}.\frac{{SC}}{{SM}}.1}} = \frac{{\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 2 + 1}}{{4.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.2.1}} = \frac{1}{3}\)

Hay \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{3}\)

Mà \({V_1} + {V_2} = V\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\). Chọn C

 Chọn C

Phương pháp giải

Bước 1: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là R.

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích hình cầu tạo thành: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)

Bước 2: Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích khối nón tạo thành:\({V_2} = \frac{1}{3}\pi .B{H^2}.AH = \frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Bước 3: Thể tích của khối nón xoay được tạo thành  khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng

 \(AD\) bằng: \({V_1} - {V_2} = \frac{{23\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{216}}\).

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Lời giải

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \frac{{BC}}{{2{\rm{sin}}A}} = \frac{a}{{2{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích hình cầu tạo thành: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích khối nón tạo thành:\({V_2} = \frac{1}{3}\pi .B{H^2}.AH = \frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Thể tích của khối nón xoay được tạo thành khi cho phần tô đậm quay quanh đường

thẳng \(AD\) bằng: \({V_1} - {V_2} = \frac{{23\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{216}}\).

 Chọn D

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi điểm \(M\left( {1 - t;1 + t;2t} \right) \in {d_2}\). Suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Bước 2: Tìm vecto chỉ phương đường thẳng \({d_1}\)

Bước 3: \(AM \bot {d_1}\left( {AM \equiv {\rm{\Delta }}} \right)\) nên tìm được \(t\)

Bước 4: Lập phương trình cần tìm bằng cách thay \(t\) đã rìm được vào \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Lời giải

Gọi \(M\left( {1 - t;1 + t;2t} \right) \in {d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do \(AM \bot {d_1}\left( {AM \equiv {\rm{\Delta }}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} .{\vec u_1} = 0 \Leftrightarrow 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(A\left( {1;2;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2};1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5;3;2} \right)\), có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).

 Chọn D

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tọa độ các điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\left( {3;1;4} \right)\) lên các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\).

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) và kết luận.

Lời giải

Hình chiếu của điểm \(M\left( {3;1;4} \right)\) lên trục \(Ox\) là \({M_1}\left( {3;0;0} \right)\).

Hình chiếu của điểm \(M\left( {3;1;4} \right)\) lên trục \(Oy\) là \({M_2}\left( {0;1;0} \right)\).

Hình chiếu của điểm \(M\left( {3;1;4} \right)\) lên trục \(Oz\) là \({M_3}\left( {0;0;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \({M_1}\left( {3;0;0} \right),{M_2}\left( {0;1;0} \right),{M_3}\left( {0;0;4} \right)\) có phương trình là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 12y + 3z - 12 = 0\).

 Chọn D

Phương pháp giải

Tính 5⁵, sau đó tìm số dư khi chia cho 6.

Lời giải

\({5^5} = 3125\), chia cho 6 dư 5 nên \({5^5} \equiv 5\left( {{\rm{mod}}\,\,6} \right)\)

 Chọn C

Đáp án: "6985"

Phương pháp giải

Tính số trang có 1, 2, 3, 4 chữ số.

Lời giải

Số trang có 1 chữ số: 9 trang.

Số trang có 2 chữ số: 90 trang.

Số trang có 3 chữ số: 900 trang.

Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.

Ta có: 2023 = 9+90+900+1024

Số chữ số để đánh số trang là: 9.1+90.2+900.3+1024.4 = 6985

Đáp án

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề.

Sử dụng công thức: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \ldots \left( {n - k + 1} \right)\)

Nhị thức Niu - tơn

Chỉnh hợp

Lời giải

1) Số hạng tổng quát trong khai triển \({(1 + x)^{12}}\) là: \(T = C_{12}^k{x^k}\)

Hệ số của \({x^5}\) là \(C_{12}^5 = 792\).

=> Mệnh đề 1 đúng.

2)

\(A_n^2 = 210 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 210 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 210 \Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0 \Leftrightarrow n = 15\)

Mà số 15 không là số chính phương nên mệnh đề 2 sai.

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \((0 < x < 60)\).

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(60 - x\).

Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\)

\({S_1} = \pi .{r^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\)

Diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình: \(S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\)

\( = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 120\pi x + 3600\pi }}{{16\pi }}\)

Đạo hàm: \(S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - 60\pi }}{{8\pi }};S' = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }};S'' = \frac{{4 + \pi }}{{8\pi }} > 0\)

Suy ra hàm \({\rm{S}}\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)

Do đó \({\rm{S}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)

Với \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)

\( \to r = \frac{{30}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)

\( \to a = \frac{{60 - x}}{4} = \frac{{60}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)

\( \to \frac{a}{r} = 2\)

 Chọn D

Phương pháp giải

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Lời giải

Gọi \(z = x + yi \Rightarrow 3\left| {x + yi + i} \right| = \left| {2\left( {x - yi} \right) - \left( {x + yi} \right) + 3i} \right|\)

\( \Leftrightarrow 3\left| {x + \left( {y + 1} \right)i\left|  =  \right|x - \left( {3y - 3} \right)i} \right| \Leftrightarrow 9{x^2} + 9{(y + 1)^2} = {x^2} + 9{(y - 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} + 18y = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{4}{9}{x^2}\) là phương trình một parabol.

 Chọn B

Đáp án: "2"

Phương pháp giải

- Gọi hoành độ tiếp điểm là x0

- Lập hệ theo x0

- Thay tọa độ của M vào giải x0

- Tìm số tiếp tuyến.

Lời giải

Gọi hoành độ tiếp điểm là \({x_0}\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1}\\{y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 + 6{x_0} - 6}\end{array}} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến \({\rm{\Delta }}\)

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) hay \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} - 6} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1\)

Mà \(M\left( {0;1} \right) \in {\rm{\Delta }}\) nên \(\left( {3{x_0}{\;^2} + 6{x_0} - 6} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 6{x_0} + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow  - 2{x_0}^3 - 3{x_0}^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{x =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Thế \({x_0} = 0,x =  - \frac{3}{2}\) vào phương trình tiếp tuyến ta được \({{\rm{\Delta }}_1}:y =  - 6x,\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:y =  - \frac{{33}}{4}x + 1\).

Phương pháp giải

Biến cố và xác suất của biến cố

Lời giải

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(\left| {\rm{\Omega }} \right| = C_{13}^3 = 286\).

Gọi \(A\) là biến cố " 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 ".

Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) là:

- TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có \(C_2^1C_8^1C_3^1 = 48\) cách.

- TH2: Chọn 1 học sinh khối 11;2 học sinh nữ khối 12 có \(C_2^1C_3^2 = 6\) cách.

- TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có \(C_2^2C_3^1 = 3\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(\left| {{{\rm{\Omega }}_A}} \right| = 48 + 6 + 3 = 57\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{{\rm{\Omega }}_A}} \right|}}{{\left| {\rm{\Omega }} \right|}} = \frac{{57}}{{286}}\).

 Chọn A

Đáp án

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C′.ABB′A′ là \(\sqrt 5 \pi \).

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính thể tích và diện tích mặt cầu

Lời giải

Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'C,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'CA} \Rightarrow AA' = AC.{\rm{tan}}\widehat {A'CA} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,B'C'\)

Bán kính mặt cầu là \(R = IC' = \sqrt {I{K^2} + C'{K^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) nên diện tích mặt cầu bằng \(5\pi \).

Đáp án

B. \(a\) và \(b\) nguyên tố cùng nhau.

D. Một trong hai số là số chính phương.

Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

- Chứng minh d(I,d) = IH và tính  d(I,d).

- Gọi O là trung điểm của MN.

- Tính MN.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2} \right)\)

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm \(I\), điểm \(M,N\) và cắt \(d\) tại \(H\).

Khi đó \(d\left( {I,d} \right) = IH\).

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;6;3} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = IH = \frac{{\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overline {{u_d}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 6)}^2} + {6^2} + {3^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 3\)

\( \Rightarrow IH = 3,IM = IN = R = 2 \Rightarrow MH = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt {I{H^2} - I{M^2}}  = \sqrt 5 \)

Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó:

\(MO = \frac{{MH.IM}}{{IH}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow MN = 2MO = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\)

 Chọn B, D

Đáp án: "11"

Phương pháp giải

- Biểu diễn a theo b.

- Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3}\).

- Sử dụng BĐT Cauchy.

Lời giải

Từ giả thiết \(\frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{2}{b}\) ta được \(a = \frac{4}{{{b^2}}}\)

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3}\). Ta có \(t = 4{a^3} + {b^3} = \frac{{256}}{{{b^6}}} + {b^3} = \frac{{256}}{{{b^6}}} + \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{256}}{{2.2}}}} = 12\)

Khi đó \(P = f\left( t \right) = t - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t\) với \(t \ge 12\).

Khảo sát hàm số ta được: \(P \ge f\left( {12} \right) = 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3 \Rightarrow x + y + z = 11\).

Phương pháp giải

Lời giải

Xét tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{tan}}x} \right)dx = 4} \).

Đặt \({\rm{t}} = {\rm{tan}}x \Rightarrow {\rm{dt}} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = \left( {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{{{\rm{dt}}}}{{1 + {{\rm{t}}^2}}}\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \to t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \to t = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow 4 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{tan}}x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2} + 1}}dt}  = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} \)

Từ đó suy ra \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{\;d}}x + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{\;d}}x = 4 + 2 = 6\)

 Chọn C

Phương pháp giải

Sử dụng tính đối xứng của parabol.

Lời giải

Gọi hai điểm chân cổng là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) thì ta có \({y_A} = {y_B}\) và \(\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right|\).

Vì \(d = 4\) nên \(\left| {{x_A}} \right| = \left| {{x_B}} \right| = 2\).

Vậy \(h = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - \frac{1}{2}x_A^2} \right| = \left| { - \frac{1}{2}{{.2}^2}} \right| = 2\,\,\left( m \right)\).

 Chọn B

Đáp án: "15"

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm.

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) nên \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = \frac{n}{{30}}\)

Ta có:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {mx + 1}  - 1}}{x}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{mx}}{{x.\left( {\sqrt {mx + 1}  + 1} \right)}} = \frac{m}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{m}{2} = \frac{n}{{30}} \Rightarrow \frac{n}{m} = 15\)

Đáp án

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\)

- Biến đổi biểu thức tìm z.

- Xét từng giá trị của z để tìm Min.

Lời giải

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \left| {\left( {z + 2i} \right)\left( {z - 2i} \right)\left|  =  \right|\left( {z + 2i} \right)z\left|  \Rightarrow  \right|z + 2i} \right|\left( {\left| {z - 2i} \right| - \left| z \right|} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z + 2i} \right| = 0}\\{\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 2i}\\{z = x + i\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Nếu \(z =  - 2i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = 1\)

Nếu \(z = x + i \Rightarrow P = \left| {z + i} \right| = \sqrt {{x^2} + 4}  \ge 2\)

Vậy \({\rm{min}}P = 1\).