Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 4\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) lần lượt tại các tiếp điểm \(M,N\). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) biểu diễn dưới dạng \(\frac{{a\sqrt b }}{3}\).

Những khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án

B. \(a\) và \(b\) nguyên tố cùng nhau.

D. Một trong hai số là số chính phương.

Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

- Chứng minh d(I,d) = IH và tính  d(I,d).

- Gọi O là trung điểm của MN.

- Tính MN.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2} \right)\)

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm \(I\), điểm \(M,N\) và cắt \(d\) tại \(H\).

Khi đó \(d\left( {I,d} \right) = IH\).

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;6;3} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = IH = \frac{{\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overline {{u_d}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 6)}^2} + {6^2} + {3^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 3\)

\( \Rightarrow IH = 3,IM = IN = R = 2 \Rightarrow MH = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt {I{H^2} - I{M^2}}  = \sqrt 5 \)

Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó:

\(MO = \frac{{MH.IM}}{{IH}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow MN = 2MO = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\)

 Chọn B, D