Câu hỏi:
11/12/2024 319Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) \[\left( C \right)\].
a) Tiệm cận đứng của hàm số là \(x = \frac{3}{2}\).
b) Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thuộc đường thẳng \(x - y - 1 = 0\)
c) Đường thẳng \(2x + y - 1 = 0\) cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của hàm số tại các điểm A và B. Diện tích của tam giác \(IAB\) bằng \(\frac{{25}}{4}\), với \(I\)là giao điểm hai đường tiệm cận.
d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ \(I\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = + \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x = \frac{3}{2}\).
b) Hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = \frac{3}{2}\) và 1 tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Rõ ràng I thuộc đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).
c) Tọa độ điểm A: \(x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = - 2\) suy ra \(A\left( {\frac{3}{2}; - 2} \right)\).
Tọa độ điểm B: \(y = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) suy ra \(B\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\).
\[\overrightarrow {IA} \left( {0; - \frac{5}{2}} \right) \Rightarrow IA = \frac{5}{2}\]; \[\overrightarrow {IB} \left( {\frac{{ - 5}}{4};0} \right) \Rightarrow IB = \frac{5}{4}\]; \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\frac{5}{2} = \frac{{25}}{{16}}\].
d) Tọa độ giao điểm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Gọi tọa độ tiếp điểm là \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\) là:
\(y = - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}} \Leftrightarrow x + {\left( {2{x_0} - 3} \right)^2}y - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3 = 0\).
Khi đó: \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2} - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { - 2{x_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} \le \frac{{\left| {2{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {2{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
(Theo bất đẳng thức Cô si)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_0} - 3 = 1\\2{x_0} - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\max d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) của mực nước trong kênh tại thời điểm \(t\,\,\left( {\rm{h}} \right)\,\,\left( {0 \le t \le 24} \right)\) trong ngày được xác định bởi công thức \(h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5\). Gọi \(\left( {a\,;\,b} \right)\) là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần. Tính giá trị của \(a + b\).
Câu 2:
Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = 1.\) và \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ \]. Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AI = 3IB\) và \(J\) là trung điểm của \(CD\). Tính độ dài đoạn thẳng \[IJ\]và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Câu 3:
Một ông nông dân có \(240\)m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông. Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu m2?
Câu 4:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây :
a) Hàm số đạt cực đại tại\(x = 2\).
b) Có 3 giá trị nguyên của \(m\)để phương trình \(f\left( x \right) = m\)có 3 nghiệm phân biệt .
c) Đường cong trên là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
d) Gọi \(M\)và \(m\)lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( {2\sin x + 1} \right)\)thì \(M + m = 5\).
Câu 5:
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), gọi \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu của \[M\left( {3;3;3} \right)\] lên các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\). Giả sử \[H\left( {a;b;c} \right)\] là trực tâm tam giác \(ABC\). Tính \[{a^2} + {b^2} + {c^2}\].
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1;2; - 2} \right)\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là
Câu 7:
Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy \(A\) và \(B\). Máy \(A\) làm việc trong \(x\) ngày cho số tiền lãi là \({x^2} + 2x\) (triệu đồng), máy \(B\) làm việc trong \(y\) ngày cho số tiền lãi là \( - 27{y^2} + 326y\) (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy \(A\) làm việc trong bao nhiêu ngày để số tiền lãi thu được nhiều nhất? Biết rằng hai máy \(A\) và \(B\) không đồng thời làm việc và máy \(B\) làm việc không quá 6 ngày.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận