Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right);B\left( {2; - 1;3} \right)\) và điểm \(M\left( {a;b;0} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất. Tính \(a + b\).

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).

d) Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).

Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).

Ta có hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).

Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là \(h\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx\)

\( =  - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).

Xét hàm \(h\left( x \right) =  - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).

Ta có \(h'\left( x \right) =  - 4x + 560 - t = 0 \Rightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in \left( {0;2000} \right)\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy lợi nhuận doanh nghiệp cao nhất tại \(x = \frac{{560 - t}}{4}\).

Khi đó số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là \(k\left( t \right) = \frac{{560 - t}}{4}.t =  - \frac{{{t^2}}}{4} + \frac{{560}}{4}t\) với \(0 < t < 300\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là \(t = 280 \Rightarrow x = 70\) sản phẩm.

Vậy mức thuế phụ thu là 2800000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.